在真空中,有一电荷为Q,半径为R的均匀带电球壳,其电荷是面分布的.试求:(1)球壳外两点间的电-|||-势差;(2)球壳内两点间的电势差;(3)球壳外任意点的电势;(4)球壳内任意点的电势.

关键知识点：

1. 均匀带电球壳的电场分布：
   • 外部：等效于电荷集中在球心的点电荷，场强公式为 $E = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \dfrac{Q}{r^2}$。
   • 内部：电场强度为 $0$，为等势区域。
2. 电势差与电势关系：
   • 电势差由电场强度的积分决定，公式为 $V_A - V_B = -\int_A^B \mathbf{E} \cdot d\mathbf{r}$。
   • 等势区域内任意两点间的电势差为 $0$。

解题核心思路：

• 球壳外两点间电势差：利用点电荷电势公式直接计算。
• 球壳内两点间电势差：内部电场为 $0$，电势差为 $0$。
• 球壳外电势：等效于点电荷电势。
• 球壳内电势：内部为等势体，电势等于球壳表面电势。

第（1）题：球壳外两点间的电势差

确定电场强度

球壳外任意点的电场强度为 $E = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \dfrac{Q}{r^2}$，方向沿径向向外。

计算电势差

沿径向从 $A$（距离球心 $r_A$）到 $B$（距离球心 $r_B$）积分：
$V_A - V_B = -\int_{r_A}^{r_B} E \, dr = -\int_{r_A}^{r_B} \dfrac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \dfrac{1}{r^2} dr$
积分结果为：
$V_A - V_B = \dfrac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left( \dfrac{1}{r_A} - \dfrac{1}{r_B} \right)$

第（2）题：球壳内两点间的电势差

利用内部电场特性

球壳内电场强度 $E = 0$，因此电势差为：
$V_A - V_B = -\int_A^B \mathbf{E} \cdot d\mathbf{r} = 0$

第（3）题：球壳外任意点的电势

取无穷远处为电势零点

当 $r \to \infty$ 时，电势 $V = 0$。根据点电荷电势公式：
$V(r) = \dfrac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r} \quad (r \geq R)$

第（4）题：球壳内任意点的电势

等势体性质

球壳内电势等于球壳表面电势。球壳表面电势为：
$V(R) = \dfrac{Q}{4\pi \varepsilon_0 R}$
因此，内部任意点电势为：
$V_{\text{内}} = \dfrac{Q}{4\pi \varepsilon_0 R}$