题目
m-|||-k-|||-0如图所示，一劲度系数为k的轻弹簧一端连一质量为m的滑块，放在光滑水平面上，弹簧另一端固定。今将弹簧压缩x0后放手，任其自由振动，以放手时刻作为计时起点，以弹簧原长位置为坐标原点，选向右为正方向。试计算：（1）该弹簧振动系统的振动方程；（2）从起始位置运动到弹簧伸长((x)_(0))/(2)处所需的最短时间；（3）弹簧伸长((x)_(0))/(2)处时滑块的动能。
如图所示，一劲度系数为k的轻弹簧一端连一质量为m的滑块，放在光滑水平面上，弹簧另一端固定。今将弹簧压缩x0后放手，任其自由振动，以放手时刻作为计时起点，以弹簧原长位置为坐标原点，选向右为正方向。试计算：（1）该弹簧振动系统的振动方程；
（2）从起始位置运动到弹簧伸长$\frac{{x}_{0}}{2}$处所需的最短时间；
（3）弹簧伸长$\frac{{x}_{0}}{2}$处时滑块的动能。
题目解答
答案
解：（1）该简谐运动的周期为：T=2π$\sqrt{\frac{m}{k}}$
取向右为正方向，且以放手时刻作为计时起点，则该弹簧振动系统的振动方程为：
x=-Acosωt=-x0cos$\frac{2π}{T}t$=-x0cos$\sqrt{\frac{k}{m}}t$；
（2）从起始位置运动到弹簧伸长$\frac{{x}_{0}}{2}$处所需的最短时间为：
t=$\frac{T}{4}$+$\frac{1}{12}T$=$\frac{1}{3}$T=$\frac{1}{3}$×2π$\sqrt{\frac{m}{k}}$=$\frac{2π}{3}\sqrt{\frac{m}{k}}$；
（3）滑块在振动过程中，滑块与弹簧组成的系统机械能守恒，根据机械能守恒定律可得：
$\frac{1}{2}k{x}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}k(\frac{{x}_{0}}{2})^{2}$+Ek
解得：Ek=$\frac{3}{8}k{x}_{0}^{2}$。
答：（1）该弹簧振动系统的振动方程为x=-x0cos$\sqrt{\frac{k}{m}}t$；
（2）从起始位置运动到弹簧伸长$\frac{{x}_{0}}{2}$处所需的最短时间为$\frac{2π}{3}\sqrt{\frac{m}{k}}$；
（3）弹簧伸长$\frac{{x}_{0}}{2}$处时滑块的动能为$\frac{3}{8}k{x}_{0}^{2}$。
取向右为正方向，且以放手时刻作为计时起点，则该弹簧振动系统的振动方程为：
x=-Acosωt=-x0cos$\frac{2π}{T}t$=-x0cos$\sqrt{\frac{k}{m}}t$；
（2）从起始位置运动到弹簧伸长$\frac{{x}_{0}}{2}$处所需的最短时间为：
t=$\frac{T}{4}$+$\frac{1}{12}T$=$\frac{1}{3}$T=$\frac{1}{3}$×2π$\sqrt{\frac{m}{k}}$=$\frac{2π}{3}\sqrt{\frac{m}{k}}$；
（3）滑块在振动过程中，滑块与弹簧组成的系统机械能守恒，根据机械能守恒定律可得：
$\frac{1}{2}k{x}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}k(\frac{{x}_{0}}{2})^{2}$+Ek
解得：Ek=$\frac{3}{8}k{x}_{0}^{2}$。
答：（1）该弹簧振动系统的振动方程为x=-x0cos$\sqrt{\frac{k}{m}}t$；
（2）从起始位置运动到弹簧伸长$\frac{{x}_{0}}{2}$处所需的最短时间为$\frac{2π}{3}\sqrt{\frac{m}{k}}$；
（3）弹簧伸长$\frac{{x}_{0}}{2}$处时滑块的动能为$\frac{3}{8}k{x}_{0}^{2}$。
解析
步骤 1：确定振动方程
根据简谐运动的周期公式，周期为：$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$。由于弹簧被压缩$x_0$后放手，以放手时刻作为计时起点，以弹簧原长位置为坐标原点，选向右为正方向，因此振动方程为：$x=-A\cos(\omega t)$，其中$A=x_0$，$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$。因此，振动方程为：$x=-x_0\cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t)$。
步骤 2：计算最短时间
从起始位置运动到弹簧伸长$\frac{{x}_{0}}{2}$处，即$x=\frac{{x}_{0}}{2}$。将$x=\frac{{x}_{0}}{2}$代入振动方程，得到$\frac{{x}_{0}}{2}=-x_0\cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t)$。解得$\cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t)=-\frac{1}{2}$。因此，$\sqrt{\frac{k}{m}}t=\frac{2\pi}{3}$，解得$t=\frac{2\pi}{3}\sqrt{\frac{m}{k}}$。
步骤 3：计算动能
滑块在振动过程中，滑块与弹簧组成的系统机械能守恒。根据机械能守恒定律，有$\frac{1}{2}k{x}_{0}^{2}=\frac{1}{2}k(\frac{{x}_{0}}{2})^{2}+E_k$。解得$E_k=\frac{3}{8}k{x}_{0}^{2}$。
根据简谐运动的周期公式，周期为：$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$。由于弹簧被压缩$x_0$后放手，以放手时刻作为计时起点，以弹簧原长位置为坐标原点，选向右为正方向，因此振动方程为：$x=-A\cos(\omega t)$，其中$A=x_0$，$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$。因此，振动方程为：$x=-x_0\cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t)$。
步骤 2：计算最短时间
从起始位置运动到弹簧伸长$\frac{{x}_{0}}{2}$处，即$x=\frac{{x}_{0}}{2}$。将$x=\frac{{x}_{0}}{2}$代入振动方程，得到$\frac{{x}_{0}}{2}=-x_0\cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t)$。解得$\cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t)=-\frac{1}{2}$。因此，$\sqrt{\frac{k}{m}}t=\frac{2\pi}{3}$，解得$t=\frac{2\pi}{3}\sqrt{\frac{m}{k}}$。
步骤 3：计算动能
滑块在振动过程中，滑块与弹簧组成的系统机械能守恒。根据机械能守恒定律，有$\frac{1}{2}k{x}_{0}^{2}=\frac{1}{2}k(\frac{{x}_{0}}{2})^{2}+E_k$。解得$E_k=\frac{3}{8}k{x}_{0}^{2}$。