有一闭合回路由半径为a和b的两个同心共面半圆连接而成，如图。其上均匀分布线密度为的电荷，当回路以匀角速度绕过O点垂直于回路平面的轴转动时，求圆心O点处的磁感强度的大小。

考查要点：本题主要考查带电回路在旋转时产生的磁场叠加问题，涉及环形电流磁场和直线电流磁场的计算。

解题核心思路：

1. 分解回路：将闭合回路分解为两个半圆（大半圆半径$b$，小半圆半径$a$）和连接它们的直径线段。
2. 计算各部分电流：分别求出各部分旋转产生的等效电流。
3. 应用磁场公式：
   • 半圆环磁场：利用环形电流在圆心处的磁场公式$B = \dfrac{\mu_0 I}{2r}$。
   • 直线电流磁场：对直径线段上的微小电流元积分，应用直线电流磁场公式$B = \dfrac{\mu_0 dI}{2\pi r}$。
4. 叠加总磁场：将三部分的磁场叠加求和。

破题关键点：

• 等效电流的计算：旋转电荷的线速度$v = \omega r$，电流$I = \lambda v \cdot \text{路径长度}$。
• 磁场方向判断：所有电流产生的磁场方向均垂直于回路平面，方向相同，可直接相加。

分解回路与电流计算

1. 大半圆（半径$b$）：

   • 电荷线密度$\lambda$，旋转角速度$\omega$，线速度$v = \omega b$。
   • 等效电流$I_1 = \lambda \cdot v \cdot \dfrac{\text{半圆周长}}{2\pi} = \dfrac{\lambda \omega b \cdot \pi b}{2\pi} = \dfrac{\lambda \omega b}{2}$。

2. 小半圆（半径$a$）：

   • 同理，$I_2 = \dfrac{\lambda \omega a}{2}$。

3. 直径线段（半径从$a$到$b$）：

   • 微小段$dr$处的线速度$v = \omega r$，微小电流$dI_3 = \lambda \cdot v \cdot dr = \lambda \omega r \, dr$。

磁场计算

大半圆磁场$B_1$

$B_1 = \dfrac{\mu_0 I_1}{2b} = \dfrac{\mu_0 \cdot \dfrac{\lambda \omega b}{2}}{2b} = \dfrac{\mu_0 \lambda \omega}{4}.$

小半圆磁场$B_2$

$B_2 = \dfrac{\mu_0 I_2}{2a} = \dfrac{\mu_0 \cdot \dfrac{\lambda \omega a}{2}}{2a} = \dfrac{\mu_0 \lambda \omega}{4}.$

直径线段磁场$B_3$

对直径线段积分：
$B_3 = \int_{a}^{b} \dfrac{\mu_0 dI_3}{2\pi r} = \int_{a}^{b} \dfrac{\mu_0 \lambda \omega r \, dr}{2\pi r} = \dfrac{\mu_0 \lambda \omega}{2\pi} \int_{a}^{b} dr = \dfrac{\mu_0 \lambda \omega}{2\pi} \ln \dfrac{b}{a}.$

总磁场叠加

$B = B_1 + B_2 + B_3 = \dfrac{\mu_0 \lambda \omega}{4} + \dfrac{\mu_0 \lambda \omega}{4} + \dfrac{\mu_0 \lambda \omega}{2\pi} \ln \dfrac{b}{a} = \dfrac{\mu_0 \lambda \omega}{2\pi} \left( \pi + \ln \dfrac{b}{a} \right).$