设力学量 A 的算符 hat(A) 的一组本征函数为 psi_1, psi_2, psi_3，它们对应的本征值分别为 1, 2, 3，当体系处于 Psi 时，Psi = (sqrt(2))/(2) psi_1 + (sqrt(5))/(4) psi_2 + (sqrt(3))/(4) psi_3，力学量 A 的平均值为(）A. (sqrt(2))/(2) + (sqrt(5))/(2) + (3sqrt(3))/(4)B. (sqrt(2))/(2) + sqrt(5) + (9sqrt(3))/(4)C. (27)/(16)D. 以上三个答案都不正确

考查要点：本题主要考查量子力学中力学量平均值的计算，涉及算符的本征函数、归一化条件以及期望值的求法。

解题核心思路：

1. 确认波函数是否归一化：计算各系数的平方和是否为1，确保波函数的物理意义。
2. 应用平均值公式：利用本征函数的正交性，直接计算各本征值与对应系数平方的乘积之和。

破题关键点：

• 本征函数的正交性简化了计算，只需对各分量单独处理。
• 系数平方对应概率，直接与本征值相乘后求和即可得到平均值。

步骤1：验证归一化条件
计算系数平方和：
$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{5}}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 = \frac{2}{4} + \frac{5}{16} + \frac{3}{16} = \frac{8}{16} + \frac{5}{16} + \frac{3}{16} = 1$
波函数已归一化，无需额外调整。

步骤2：计算平均值
根据公式 $\langle A \rangle = \sum |c_i|^2 a_i$，其中 $|c_i|^2$ 为系数平方，$a_i$ 为对应本征值：

1. 第一项：$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \cdot 1 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$
2. 第二项：$\left(\frac{\sqrt{5}}{4}\right)^2 \cdot 2 = \frac{5}{16} \cdot 2 = \frac{5}{8}$
3. 第三项：$\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 \cdot 3 = \frac{3}{16} \cdot 3 = \frac{9}{16}$

步骤3：求和
将三部分相加：
$\frac{1}{2} + \frac{5}{8} + \frac{9}{16} = \frac{8}{16} + \frac{10}{16} + \frac{9}{16} = \frac{27}{16}$