设一同轴电缆由半径分别为r_1和r_2的两个同轴薄壁长直圆筒组成，两长圆简通有等值反向电流I，如图所示，两筒间介质的相对磁导率μ _I= 1，求:(1)同轴电缆单位长度的自感系数;(2)同轴电缆单位长度内所储存的磁能.

考查要点：本题主要考查同轴电缆的自感系数及储存磁能的计算，涉及磁场的环路积分、磁通量计算及能量公式应用。

解题核心思路：

1. 磁场分布：利用安培环路定理确定两圆筒间磁场的分布；
2. 磁通量计算：对单位长度内磁场进行积分，得到总磁通量；
3. 自感系数：根据自感系数定义$L = \frac{\Phi}{I}$计算；
4. 磁能计算：直接应用磁能公式$W_m = \frac{1}{2} L I^2$。

破题关键点：

• 环路选择：选取半径$r$在$r_1 < r < r_2$的圆形环路，包围内圆筒电流$I$；
• 积分变量：磁场$B$与$r$成反比，积分时需注意变量替换；
• 单位长度：所有计算均针对单位长度，简化面积元素为环形周长。

第（1）题：单位长度的自感系数

确定磁场分布

根据安培环路定理，对半径$r$在$r_1 < r < r_2$的圆形环路：
$\oint \overrightarrow{B} \cdot d\overrightarrow{l} = \mu_0 I_{\text{enc}}$
其中，包围电流$I_{\text{enc}} = I$，解得：
$B \cdot 2\pi r = \mu_0 I \quad \Rightarrow \quad B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$

计算磁通量

单位长度内磁通量为：
$\Phi = \int_{r_1}^{r_2} B \cdot (2\pi r \, dr) = \int_{r_1}^{r_2} \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \cdot 2\pi r \, dr = \mu_0 I \int_{r_1}^{r_2} \frac{dr}{r}$
积分结果为：
$\Phi = \mu_0 I \ln \frac{r_2}{r_1}$

求自感系数

自感系数定义为：
$L = \frac{\Phi}{I} = \frac{\mu_0}{2\pi} \ln \frac{r_2}{r_1}$

第（2）题：单位长度储存的磁能

直接应用磁能公式：
$W_m = \frac{1}{2} L I^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\mu_0}{2\pi} \ln \frac{r_2}{r_1} \cdot I^2 = \frac{\mu_0 I^2}{4\pi} \ln \frac{r_2}{r_1}$