题目
6.25 三个同方向、同频率的简谐振动为-|||-_(1)=0.08cos (314t+dfrac (pi )(6))-|||-_(2)=0.08cos (314t+dfrac (pi )(2))-|||-_(3)=0.08cos (314t+dfrac (5pi )(6))-|||-求:(1)合振动的角频率、振幅、初相及振动表达式;-|||-(2)合振动由初始位置运动到 =dfrac (sqrt {2)}(2)A (A为合振动振幅)所需最短时间。

题目解答
答案

解析
步骤 1:确定合振动的角频率
由于三个简谐振动的角频率相同,均为 $314\text{ rad/s}$,因此合振动的角频率也是 $314\text{ rad/s}$。
步骤 2:计算合振动的振幅和初相
将三个简谐振动的表达式相加,得到合振动的表达式。由于三个简谐振动的振幅相同,均为 $0.08\text{ m}$,且相位差为 $\dfrac{\pi}{3}$,可以使用向量合成的方法来计算合振动的振幅和初相。
- 将三个简谐振动的振幅向量表示为:${\vec{A}}_{1}=0.08\text{ m}$,${\vec{A}}_{2}=0.08\text{ m}$,${\vec{A}}_{3}=0.08\text{ m}$。
- 将这三个向量相加,得到合振动的振幅向量 ${\vec{A}}_{\text{合}}$。
- 由于三个向量的相位差为 $\dfrac{\pi}{3}$,可以将它们表示为复数形式,然后相加。
- 计算得到合振动的振幅为 $0.16\text{ m}$,初相为 $\dfrac{\pi}{2}$。
步骤 3:确定合振动的振动表达式
根据合振动的角频率、振幅和初相,可以写出合振动的振动表达式为 $x=0.16\cos(314t+\dfrac{\pi}{2})$。
步骤 4:计算合振动由初始位置运动到 $x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}A$ 所需最短时间
- 合振动的初始位置为 $x=0$,即 $t=0$ 时,$x=0.16\cos(\dfrac{\pi}{2})=0$。
- 合振动运动到 $x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}A$ 时,即 $x=0.16\cos(314t+\dfrac{\pi}{2})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times0.16$。
- 解方程 $0.16\cos(314t+\dfrac{\pi}{2})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times0.16$,得到 $t=\dfrac{1}{314}\times(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{2})=-\dfrac{\pi}{1256}$。
- 由于时间不能为负,因此需要加上一个周期,即 $t=\dfrac{1}{314}\times(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{2}+2\pi)=\dfrac{1}{314}\times\dfrac{7\pi}{4}=\dfrac{7\pi}{1256}$。
- 将 $\dfrac{7\pi}{1256}$ 转换为毫秒,得到 $t=12.5\text{ ms}$。
由于三个简谐振动的角频率相同,均为 $314\text{ rad/s}$,因此合振动的角频率也是 $314\text{ rad/s}$。
步骤 2:计算合振动的振幅和初相
将三个简谐振动的表达式相加,得到合振动的表达式。由于三个简谐振动的振幅相同,均为 $0.08\text{ m}$,且相位差为 $\dfrac{\pi}{3}$,可以使用向量合成的方法来计算合振动的振幅和初相。
- 将三个简谐振动的振幅向量表示为:${\vec{A}}_{1}=0.08\text{ m}$,${\vec{A}}_{2}=0.08\text{ m}$,${\vec{A}}_{3}=0.08\text{ m}$。
- 将这三个向量相加,得到合振动的振幅向量 ${\vec{A}}_{\text{合}}$。
- 由于三个向量的相位差为 $\dfrac{\pi}{3}$,可以将它们表示为复数形式,然后相加。
- 计算得到合振动的振幅为 $0.16\text{ m}$,初相为 $\dfrac{\pi}{2}$。
步骤 3:确定合振动的振动表达式
根据合振动的角频率、振幅和初相,可以写出合振动的振动表达式为 $x=0.16\cos(314t+\dfrac{\pi}{2})$。
步骤 4:计算合振动由初始位置运动到 $x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}A$ 所需最短时间
- 合振动的初始位置为 $x=0$,即 $t=0$ 时,$x=0.16\cos(\dfrac{\pi}{2})=0$。
- 合振动运动到 $x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}A$ 时,即 $x=0.16\cos(314t+\dfrac{\pi}{2})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times0.16$。
- 解方程 $0.16\cos(314t+\dfrac{\pi}{2})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times0.16$,得到 $t=\dfrac{1}{314}\times(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{2})=-\dfrac{\pi}{1256}$。
- 由于时间不能为负,因此需要加上一个周期,即 $t=\dfrac{1}{314}\times(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{2}+2\pi)=\dfrac{1}{314}\times\dfrac{7\pi}{4}=\dfrac{7\pi}{1256}$。
- 将 $\dfrac{7\pi}{1256}$ 转换为毫秒,得到 $t=12.5\text{ ms}$。