16.(填空题，4.0分)某公司的邮件系统中垃圾邮件占总邮件的20%，经过历史数据分析发现，在垃圾邮件中，50%会包含关键词“折扣”，在正常邮件中，10%会包含关键词“折扣”.现收到一封新邮件，检测发现其中包含关键词“折扣”，问这封邮件实际是垃圾邮件的概率为_____(请用最简分数作答，如1/3)

为了解决这个问题，我们可以使用贝叶斯定理。贝叶斯定理用于在已知某些相关事件的条件下，计算某个事件的概率。具体来说，我们可以用以下公式： \[ P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} \] 其中： - $ P(A|B) $ 是在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。 - $ P(B|A) $ 是在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率。 - $ P(A) $ 是事件 A 发生的先验概率。 - $ P(B) $ 是事件 B 发生的总概率。 在这个问题中： - 事件 A 是邮件是垃圾邮件。 - 事件 B 是邮件包含关键词“折扣”。 已知条件： - 垃圾邮件占总邮件的 20%，即 $ P(A) = 0.2 $。 - 正常邮件占总邮件的 80%，即 $ P(\neg A) = 0.8 $。 - 在垃圾邮件中，50% 会包含关键词“折扣”，即 $ P(B|A) = 0.5 $。 - 在正常邮件中，10% 会包含关键词“折扣”，即 $ P(B|\neg A) = 0.1 $。 我们需要计算的是，收到一封包含关键词“折扣”的邮件时，这封邮件实际是垃圾邮件的概率 $ P(A|B) $。 首先，计算 $ P(B) $，即包含关键词“折扣”的邮件的总概率。根据全概率公式： \[ P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\neg A) \cdot P(\neg A) \] 代入已知值： \[ P(B) = 0.5 \cdot 0.2 + 0.1 \cdot 0.8 \] \[ P(B) = 0.1 + 0.08 \] \[ P(B) = 0.18 \] 接下来，使用贝叶斯定理计算 $ P(A|B) $： \[ P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} \] \[ P(A|B) = \frac{0.5 \cdot 0.2}{0.18} \] \[ P(A|B) = \frac{0.1}{0.18} \] \[ P(A|B) = \frac{1}{1.8} \] \[ P(A|B) = \frac{5}{9} \] 因此，这封包含关键词“折扣”的邮件实际是垃圾邮件的概率为 $\frac{5}{9}$。 答案：$\frac{5}{9}$