题目
设X1,X2,···,Xn为来自总体X的一个样本, (X)=mu , (X)=(sigma )^2, 常数-|||-_(i)gt 0 ,i=1, 2,···,n, sum _(i=1)^n(c)_(i)=1, 试证明:-|||-(1) sum _(i=1)^n(C)_(i)(X)_(i), 为μ的无偏估计量;-|||-(2)在μ的形如 sum _(i=1)^n(C)_(i)(X)_(i), 的无偏估计中, overline (X)=dfrac (1)(n)sum _(i=1)^nX, 是最有效的.
题目解答
答案
解析
步骤 1：证明 $\sum _{i=1}^{n}{C}_{i}X$ 为μ的无偏估计量
根据无偏估计量的定义，如果一个估计量的期望值等于被估计的参数，那么这个估计量就是无偏的。因此，我们需要证明 $\sum _{i=1}^{n}{C}_{i}X$ 的期望值等于μ。
步骤 2：计算 $\sum _{i=1}^{n}{C}_{i}X$ 的期望值
根据期望的线性性质，我们有：
$E(\sum _{i=1}^{n}{C}_{i}X) = \sum _{i=1}^{n}{C}_{i}E(X)$
由于 $E(X) = \mu$，所以：
$E(\sum _{i=1}^{n}{C}_{i}X) = \sum _{i=1}^{n}{C}_{i}\mu$
步骤 3：利用 $\sum _{i=1}^{n}{C}_{i}=1$ 的条件
由于 $\sum _{i=1}^{n}{C}_{i}=1$，所以：
$E(\sum _{i=1}^{n}{C}_{i}X) = \mu$
步骤 4：证明 $\overline {X}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$ 是最有效的
为了证明 $\overline {X}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$ 是最有效的，我们需要证明它的方差是最小的。根据方差的性质，我们有：
$D(\sum _{i=1}^{n}{C}_{i}X) = \sum _{i=1}^{n}{C}_{i}^{2}D(X)$
由于 $D(X) = \sigma^2$，所以：
$D(\sum _{i=1}^{n}{C}_{i}X) = \sum _{i=1}^{n}{C}_{i}^{2}\sigma^2$
步骤 5：利用不等式 ${({a}_{1}+{a}_{2}+\cdots +{{a}_{n})}^{2}\leqslant n({{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}+\cdots +{{a}_{n}}^{2})$
根据不等式 ${({a}_{1}+{a}_{2}+\cdots +{{a}_{n})}^{2}\leqslant n({{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}+\cdots +{{a}_{n}}^{2})$，我们有：
$\sum _{i=1}^{n}{C}_{i}^{2} \geqslant \dfrac {1}{n}$
因此：
$D(\sum _{i=1}^{n}{C}_{i}X) \geqslant \dfrac {1}{n}\sigma^2$
步骤 6：证明 $\overline {X}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$ 的方差是最小的
由于 $\overline {X}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$ 的方差为 $\dfrac {1}{n}\sigma^2$，所以它是最有效的。
根据无偏估计量的定义，如果一个估计量的期望值等于被估计的参数，那么这个估计量就是无偏的。因此，我们需要证明 $\sum _{i=1}^{n}{C}_{i}X$ 的期望值等于μ。
步骤 2：计算 $\sum _{i=1}^{n}{C}_{i}X$ 的期望值
根据期望的线性性质，我们有：
$E(\sum _{i=1}^{n}{C}_{i}X) = \sum _{i=1}^{n}{C}_{i}E(X)$
由于 $E(X) = \mu$，所以：
$E(\sum _{i=1}^{n}{C}_{i}X) = \sum _{i=1}^{n}{C}_{i}\mu$
步骤 3：利用 $\sum _{i=1}^{n}{C}_{i}=1$ 的条件
由于 $\sum _{i=1}^{n}{C}_{i}=1$，所以：
$E(\sum _{i=1}^{n}{C}_{i}X) = \mu$
步骤 4：证明 $\overline {X}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$ 是最有效的
为了证明 $\overline {X}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$ 是最有效的，我们需要证明它的方差是最小的。根据方差的性质，我们有：
$D(\sum _{i=1}^{n}{C}_{i}X) = \sum _{i=1}^{n}{C}_{i}^{2}D(X)$
由于 $D(X) = \sigma^2$，所以：
$D(\sum _{i=1}^{n}{C}_{i}X) = \sum _{i=1}^{n}{C}_{i}^{2}\sigma^2$
步骤 5：利用不等式 ${({a}_{1}+{a}_{2}+\cdots +{{a}_{n})}^{2}\leqslant n({{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}+\cdots +{{a}_{n}}^{2})$
根据不等式 ${({a}_{1}+{a}_{2}+\cdots +{{a}_{n})}^{2}\leqslant n({{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}+\cdots +{{a}_{n}}^{2})$，我们有：
$\sum _{i=1}^{n}{C}_{i}^{2} \geqslant \dfrac {1}{n}$
因此：
$D(\sum _{i=1}^{n}{C}_{i}X) \geqslant \dfrac {1}{n}\sigma^2$
步骤 6：证明 $\overline {X}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$ 的方差是最小的
由于 $\overline {X}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$ 的方差为 $\dfrac {1}{n}\sigma^2$，所以它是最有效的。