有一很长的载流导体直圆管,内半径为a,外半径为b,电流强度为I,电流沿轴线方向流动,并且均匀地分布在管壁的横截面上,如图26-4所示,求空间个点的磁感应强度,并画出B-r曲线(r为场点到轴线的垂直距离)。⏺

考查要点：本题主要考查安培环路定理在不同区域磁场分布的应用，以及电流密度均匀分布的处理方法。

解题核心思路：

1. 分区域讨论：根据场点位置分为$r \leq a$、$a < r < b$、$r \geq b$三个区域。
2. 应用安培环路定理：对每个区域，计算环路积分$\oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l}$，并确定包围电流$I_{\text{enc}}$。
3. 电流密度计算：电流均匀分布在管壁横截面上，电流密度$J = \frac{I}{\pi(b^2 - a^2)}$。
4. 连续性验证：确保$r = b$处内外磁场连续。

破题关键点：

• 电流分布的对称性：利用轴对称性简化环路积分。
• 正确计算包围电流：在$a < r < b$时，$I_{\text{enc}}$为管壁内半径$a$到$r$部分的电流。

区域1：$r \leq a$（圆管内部空腔）

• 包围电流：场点在管壁内部空腔，电流仅分布在$a < r < b$，故$I_{\text{enc}} = 0$。
• 安培环路定理：$\oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{enc}} = 0$，得$B \cdot 2\pi r = 0$，故$B = 0$。

区域2：$a < r < b$（管壁内部）

1. 电流密度计算：
   电流均匀分布在管壁横截面，面积为$\pi(b^2 - a^2)$，故电流密度为：
   $J = \frac{I}{\pi(b^2 - a^2)}.$
2. 包围电流：
   场点处包围的电流为管壁内半径$a$到$r$部分的电流：
   $I_{\text{enc}} = J \cdot \pi(r^2 - a^2) = \frac{I}{\pi(b^2 - a^2)} \cdot \pi(r^2 - a^2) = \frac{I(r^2 - a^2)}{b^2 - a^2}.$
3. 安培环路定理：
   $B \cdot 2\pi r = \mu_0 I_{\text{enc}} = \mu_0 \frac{I(r^2 - a^2)}{b^2 - a^2},$
   解得：
   $B = \frac{\mu_0 I (r^2 - a^2)}{2\pi r (b^2 - a^2)}.$

区域3：$r \geq b$（圆管外部）

• 包围电流：场点包含全部电流，故$I_{\text{enc}} = I$。
• 安培环路定理：
  $B \cdot 2\pi r = \mu_0 I,$
  解得：
  $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}.$