2025.2 函数f(x)=(1)/(e^frac(x){x-1)-1}的间断点个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4

考查要点：本题主要考查函数间断点的判断，涉及分母为零、分式未定义点的分析，以及不同间断类型的判断。

解题核心思路：

1. 确定分母为零的点：解方程$e^{\frac{x}{x-1}} - 1 = 0$，即$\frac{x}{x-1} = 0$，得到$x=0$。
2. 分析分式未定义点：当$x=1$时，分式$\frac{x}{x-1}$无定义。
3. 判断间断类型：
   • $x=0$：分母趋近于0，函数值趋于无穷大，为无穷间断点。
   • $x=1$：左右极限存在但不相等，为跳跃间断点。

破题关键：

• 分母为零的条件需转化为指数函数的特性（$e^y=1 \Rightarrow y=0$）。
• 分式未定义点需单独分析左右极限是否存在且相等。

步骤1：寻找分母为零的点

解方程$e^{\frac{x}{x-1}} - 1 = 0$，即：
$e^{\frac{x}{x-1}} = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{x-1} = 0.$
解得$x=0$（此时分母$x-1 \neq 0$）。因此，$x=0$是间断点。

步骤2：分析分式未定义点

当$x=1$时，分式$\frac{x}{x-1}$无定义，因此$x=1$是间断点。

步骤3：判断间断类型

• $x=0$处：

  • 当$x \to 0$时，$\frac{x}{x-1} \to 0$，故$e^{\frac{x}{x-1}} \to 1$，分母趋近于$0$，函数值趋于无穷大。
  • 结论：$x=0$为无穷间断点。

• $x=1$处：

  • 当$x \to 1^+$：$\frac{x}{x-1} \to +\infty$，$e^{\frac{x}{x-1}} \to +\infty$，分母趋近于$+\infty$，故$f(x) \to 0$。
  • 当$x \to 1^-$：$\frac{x}{x-1} \to -\infty$，$e^{\frac{x}{x-1}} \to 0$，分母趋近于$-1$，故$f(x) \to -1$。
  • 结论：左右极限存在但不相等，$x=1$为跳跃间断点。