一长直载流导线电流强度为I，铜棒AB长为L，A端与直导线的距离为xA，AB与直导线的夹角为θ，以水平速度v向右运动．求AB棒的动生电动势为多少，何端电势高？

本题主要考察动生电动势的计算，关键是通过微元法分析铜棒上各线元的动生电动势并积分求解，同时判断电势高低。

步骤11：建立坐标系与微元分析

长直载流导线产生的磁感应强度为 $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$（$r$ 为线元到导线距离）。铜棒AB以速度 $v$ 向右运动，与导线夹角 $\theta$。在棒上取微元 $dldl$，其到A端距离为 $l$，则：

• 线元到导线的距离：$r = x_A + l \sin\theta$（$x_A$ 为A端初始距离，$l\sin\theta$ 是线元在垂直导线方向的投影）；
• 线元的有效长度（垂直速度方向）：$dl_{\perp} = dl\cos\theta$（速度 $v$ 水平，$dl\cos\theta$ 为线元在垂直 $v \boldsymbol{v}$ 方向的分量）。

步骤2：线元动生电动势计算

动生电动势公式 $d\mathcal{E} = \int (\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}) \cdot d\boldsymbol{l}$，因 $\boldsymbol{v} \perp \boldsymbol{B} \perp d\boldsymbol{l}$，故 $d\mathcal{E} = Bv \cdot dl_{\perp$，代入 $B$ 和 $dl_{\perp}$：
$d\mathcal{E} = \frac{\mu_0 I}{2\pi (x_A + l\sin\theta)} \cdot v \cdot dl\cos\theta$

步骤3：积分求总电动势

积分范围 $l \in [0, L]$：
$\mathcal{E} = \int_0^L \frac{\mu_0 I v \cos\theta}{2\pi (x_A + l\sin\theta)} dl$
令 $u = x_A + l\sin\theta$，则 $du = \sin\theta dl$，积分得：
$\mathcal{E} = \frac{\mu_0 I v \cos\theta}{2\pi \sin\theta} \ln\left(1 + \frac{L\sin\theta}{x_A}\right) = \frac{\mu_0 I v}{2\pi} \cot\theta \ln\left(1 + \frac{L\sin\theta}{x_A}\right)$

步骤4：电势高低判断

由右手定则，(v×B)方向沿棒从B指向A，非静电力推动正电荷向A移动，故A端电势高****。