题目
17.（填空题，4.0分）已知总体Xsim N（mu，4），从总体中抽取容量n=16的样本，样本均值overline(x)=10，若置信度1-α=0.95，则总体均值μ的双侧置信区间为_____.（请小数点之后保留2位有效数字，u_(0.025)=1.96）
17.（填空题，4.0分）
已知总体$X\sim N（\mu，4）$，从总体中抽取容量n=16的样本，样本均值$\overline{x}=10$，若置信度1-α=0.95，则总体均值μ的双侧置信区间为_____.（请小数点之后保留2位有效数字，u_{0.025}=1.96）
题目解答
答案
为了求出总体均值 $\mu$ 的双侧置信区间，我们使用以下公式：
\[
\overline{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
\]
其中：
- $\overline{x}$ 是样本均值
- $z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的上 $\alpha/2$ 分位数
- $\sigma$ 是总体标准差
- $n$ 是样本容量
已知：
- $\overline{x} = 10$
- $n = 16$
- $\sigma^2 = 4$，因此 $\sigma = \sqrt{4} = 2$
- 置信度 $1 - \alpha = 0.95$，因此 $\alpha = 0.05$，$\alpha/2 = 0.025$
- $z_{0.025} = 1.96$
将这些值代入公式中，我们得到：
\[
10 \pm 1.96 \frac{2}{\sqrt{16}}
\]
首先计算 $\frac{2}{\sqrt{16}}$:
\[
\frac{2}{\sqrt{16}} = \frac{2}{4} = 0.5
\]
然后计算 $1.96 \times 0.5$:
\[
1.96 \times 0.5 = 0.98
\]
因此，置信区间为：
\[
10 \pm 0.98
\]
这表示置信区间的下限是：
\[
10 - 0.98 = 9.02
\]
置信区间的上限是：
\[
10 + 0.98 = 10.98
\]
所以，总体均值 $\mu$ 的双侧置信区间为 $\boxed{(9.02, 10.98)}$。
解析
考查要点：本题主要考查正态总体均值的双侧置信区间的计算，需要掌握置信区间的基本公式及关键参数的代入方法。
解题核心思路：
- 确定总体方差已知时，使用Z分布构造置信区间；
- 公式选择：双侧置信区间公式为 $\overline{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$；
- 参数提取：从题目中提取样本均值 $\overline{x}$、总体方差 $\sigma^2$、样本容量 $n$、置信度 $1-\alpha$，并计算对应的 $z_{\alpha/2}$ 值；
- 计算标准误：$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 是关键中间量；
- 最终区间：通过公式计算上下限。
破题关键点：
- 区分Z与t分布：本题总体方差已知，直接使用Z分布；
- 正确代入数值：注意 $\sigma$ 需开方，置信度转换为 $\alpha$ 值。
步骤1：提取已知条件
- 总体方差 $\sigma^2 = 4$，故总体标准差 $\sigma = \sqrt{4} = 2$；
- 样本容量 $n = 16$，样本均值 $\overline{x} = 10$；
- 置信度 $1 - \alpha = 0.95$，对应 $\alpha = 0.05$，$\alpha/2 = 0.025$；
- 查标准正态分布表得 $z_{0.025} = 1.96$。
步骤2：计算标准误
标准误为：
$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{16}} = \frac{2}{4} = 0.5$
步骤3：计算置信区间半宽
置信区间半宽为：
$z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \times 0.5 = 0.98$
步骤4：确定置信区间上下限
- 下限：$\overline{x} - 0.98 = 10 - 0.98 = 9.02$
- 上限：$\overline{x} + 0.98 = 10 + 0.98 = 10.98$