题目

2、已知平面力场vec(F)=(y+2xy,x^2+2x+y^2)，求一质点沿路线L:y=sqrt(4x-x^2)从点A(4,0)移动到点O(0,0)时，场力所做的功.

2、已知平面力场$\vec{F}=(y+2xy,x^{2}+2x+y^{2})$，求一质点沿路线L:y=$\sqrt{4x-x^{2}}$从点A(4,0)移动到点O(0,0)时，场力所做的功.

题目解答

答案

为了求出质点沿路线 $ L: y = \sqrt{4x - x^2} $ 从点 $ A(4,0) $ 移动到点 $ O(0,0) $ 时，场力 $ \vec{F} = (y + 2xy, x^2 + 2x + y^2) $ 所做的功，我们需要计算力场沿曲线 $ L $ 的线积分。功 $ W $ 由下式给出： \[ W = \int_L \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_L (y + 2xy) \, dx + (x^2 + 2x + y^2) \, dy. \] 首先，我们对曲线 $ L $ 进行参数化。曲线 $ y = \sqrt{4x - x^2} $ 是一个以 $ (2,0) $ 为中心，半径为 2 的半圆。我们可以使用参数 $ t $ 进行参数化，其中 $ x = 2 + 2\cos t $ 和 $ y = 2\sin t $。当 $ x $ 从 4 变到 0 时，$ t $ 从 $ 0 $ 变到 $ \pi $。 接下来，我们计算 $ dx $ 和 $ dy $： \[ dx = -2\sin t \, dt, \] \[ dy = 2\cos t \, dt. \] 现在，我们将 $ x = 2 + 2\cos t $，$ y = 2\sin t $，$ dx = -2\sin t \, dt $，和 $ dy = 2\cos t \, dt $ 代入线积分： \[ W = \int_0^\pi \left[ (2\sin t + 2(2 + 2\cos t)(2\sin t))(-2\sin t) + ((2 + 2\cos t)^2 + 2(2 + 2\cos t) + (2\sin t)^2)(2\cos t) \right] \, dt. \] 我们逐步简化被积函数。首先，简化 $ y + 2xy $： \[ y + 2xy = 2\sin t + 4\sin t + 8\sin t \cos t = 6\sin t + 8\sin t \cos t. \] 然后，简化 $ x^2 + 2x + y^2 $： \[ x^2 = (2 + 2\cos t)^2 = 4 + 8\cos t + 4\cos^2 t, \] \[ 2x = 4 + 4\cos t, \] \[ y^2 = (2\sin t)^2 = 4\sin^2 t, \] \[ x^2 + 2x + y^2 = 4 + 8\cos t + 4\cos^2 t + 4 + 4\cos t + 4\sin^2 t = 8 + 12\cos t + 4(\cos^2 t + \sin^2 t) = 12 + 12\cos t. \] 现在将这些代回线积分： \[ W = \int_0^\pi \left[ (6\sin t + 8\sin t \cos t)(-2\sin t) + (12 + 12\cos t)(2\cos t) \right] \, dt. \] 进一步简化被积函数： \[ (6\sin t + 8\sin t \cos t)(-2\sin t) = -12\sin^2 t - 16\sin^2 t \cos t, \] \[ (12 + 12\cos t)(2\cos t) = 24\cos t + 24\cos^2 t. \] 因此，被积函数变为： \[ -12\sin^2 t - 16\sin^2 t \cos t + 24\cos t + 24\cos^2 t. \] 我们可以将这个积分拆分为四个独立的积分： \[ W = \int_0^\pi -12\sin^2 t \, dt + \int_0^\pi -16\sin^2 t \cos t \, dt + \int_0^\pi 24\cos t \, dt + \int_0^\pi 24\cos^2 t \, dt. \] 分别计算每个积分： 1. $ \int_0^\pi -12\sin^2 t \, dt = -12 \int_0^\pi \frac{1 - \cos 2t}{2} \, dt = -12 \left[ \frac{t}{2} - \frac{\sin 2t}{4} \right]_0^\pi = -12 \left( \frac{\pi}{2} \right) = -6\pi $, 2. $ \int_0^\pi -16\sin^2 t \cos t \, dt $。设 $ u = \sin t $，则 $ du = \cos t \, dt $ 并且积分的上下限从 $ 0 $ 到 $ 0 $，所以这个积分是 $ 0 $, 3. $ \int_0^\pi 24\cos t \, dt = 24 \left[ \sin t \right]_0^\pi = 24(0) = 0 $, 4. $ \int_0^\pi 24\cos^2 t \, dt = 24 \int_0^\pi \frac{1 + \cos 2t}{2} \, dt = 24 \left[ \frac{t}{2} + \frac{\sin 2t}{4} \right]_0^\pi = 24 \left( \frac{\pi}{2} \right) = 12\pi $. 将这些结果相加： \[ W = -6\pi + 0 + 0 + 12\pi = 6\pi. \] 因此，场力所做的功是： \[ \boxed{6\pi}. \]

解析

本题考查平面力场中场力做功的计算，解题思路是通过计算力场沿曲线的线积分来得到场力所做的功。具体步骤如下：

  1. 确定线积分公式：场力 $\vec{F}=(P,Q)$ 沿曲线 $L$ 所做的功 $W$ 由线积分 $W = \int_L \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_L P \, dx + Q \, dy$ 给出，其中 $P = y + 2xy$，$Q = x^2 + 2x + y^2$。
  2. 曲线参数化：曲线 $L: y = \sqrt{4x - x^2}$ 是一个以 $(2,0)$ 为中心，半径为 2 的半圆，使用参数 $t$ 进行参数化，令 $x = 2 + 2\cos t$，$y = 2\sin t$。当 $x$ 从 4 变到 0 时，$t$ 从 $0$ 变到 $\pi$。
  3. 计算 $dx$ 和 $dy$：对 $x = 2 + 2\cos t$ 和 $y = 2\sin t$ 求导，可得 $dx = -2\sin t \, dt$，$dy = 2\cos t \, dt$。
  4. 代入参数化表达式到线积分：将 $x = 2 + 2\cos t$，$y = 2\sin t$，$dx = -2\sin t \, dt$，$dy = 2\cos t \, dt$ 代入线积分 $W = \int_L (y + 2xy) \, dx + (x^2 + 2x + y^2) \, dy$ 中。
  5. 简化被积函数：
    • 计算 $y + 2xy$：
      $\begin{align*}y + 2xy &= 2\sin t + 2(2 + 2\cos t)(2\sin t)\\&= 2\sin t + 4\sin t + 8\sin t \cos t\\&= 6\sin t + 8\sin t \cos t\end{align*}$
    • 计算 $x^2 + 2x + y^2$：
      $\begin{align*}x^2 &= (2 + 2\cos t)^2 = 4 + 8\cos t + 4\cos^2 t\\2x &= 4 + 4\cos t\\y^2 &= (2\sin t)^2 = 4\sin^2 t\\x^2 + 2x + y^2 &= 4 + 8\cos t + 4\cos^2 t + 4 + 4\cos t + 4\sin^2 t\\&= 8 + 12\cos t + 4(\cos^2 t + \sin^2 t)\\&= 12 + 12\cos t\end{align*}$
      将上述结果代回线积分，得到：
      $\begin{align*}W &= \int_0^\pi \left[ (6\sin t + 8\sin t \cos t)(-2\sin t) + (12 + 12\cos t)(2\cos t) \right] \, dt\\&= \int_0^\pi \left[ -12\sin^2 t - 16\sin^2 t \cos t + 24\cos t + 24\cos^2 t \right] \, dt\end{align*}$
  6. 拆分积分并分别计算：
    • 计算 $\int_0^\pi -12\sin^2 t \, dt$：
      $\begin{align*}\int_0^\pi -12\sin^2 t \, dt &= -12 \int_0^\pi \frac{1 - \cos 2t}{2} \, dt\\&= -12 \left[ \frac{t}{2} - \frac{\sin 2t}{4} \right]_0^\pi\\&= -12 \left( \frac{\pi}{2} \right)\\&= -6\pi\end{align*}$
    • 计算 $\int_0^\pi -16\sin^2 t \cos t \, dt$：令 $u = \sin t$，则 $du = \cos t \, dt$，积分上下限从 $0$ 到 $0$，所以该积分值为 $0$。
    • 计算 $\int_0^\pi 24\cos t \, dt$：
      $\int_0^\pi 24\cos t \, dt = 24 \left[ \sin t \right]_0^\pi = 24(0) = 0$
    • 计算 $\int_0^\pi 24\cos^2 t \, dt$：
      $\begin{align*}\int_0^\pi 24\cos^2 t \, dt &= 24 \int_0^\pi \frac{1 + \cos 2t}{2} \, dt\\&= 24 \left[ \frac{t}{2} + \frac{\sin 2t}{4} \right]_0^\pi\\&= 24 \left( \frac{\pi}{2} \right)\\&= 12\pi\end{align*}$
  7. 求和得到最终结果：将上述四个积分的结果相加，可得 $W = -6\pi + 0 + 0 + 12\pi = 6\pi$。