曲面 x2+cos(xy)+yz+x=0 在点 (0,1,−1) 处的切平面方程为 () A. x−y+z=−2 B. x+y+z=0 C. x−2y+z=−3 D. x−y−z=0

考查要点：本题主要考查隐函数定义的曲面在某一点处切平面方程的求解方法，涉及梯度向量的计算和切平面方程公式的应用。

解题核心思路：

1. 验证点是否在曲面上：将点代入原方程，确认满足条件。
2. 计算偏导数：分别求出函数$F(x,y,z)=x^2+\cos(xy)+yz+x$对$x$、$y$、$z$的偏导数$F_x$、$F_y$、$F_z$。
3. 求梯度向量：在给定点处计算偏导数的值，得到法向量。
4. 代入切平面公式：利用法向量和点坐标写出切平面方程。

破题关键点：

• 隐函数定理的应用：曲面的法向量由梯度向量给出。
• 偏导数的正确计算：注意复合函数求导和链式法则的应用。

步骤1：验证点是否在曲面上
将点$(0,1,-1)$代入原方程：
$0^2 + \cos(0 \cdot 1) + 1 \cdot (-1) + 0 = 0 + 1 - 1 + 0 = 0,$
满足方程，说明点在曲面上。

步骤2：计算偏导数
定义$F(x,y,z) = x^2 + \cos(xy) + yz + x$，分别求偏导：

• $F_x$：
  $F_x = 2x - y \sin(xy) + 1.$
• $F_y$：
  $F_y = -x \sin(xy) + z.$
• $F_z$：
  $F_z = y.$

步骤3：代入点计算梯度向量
在点$(0,1,-1)$处：

• $F_x(0,1,-1)$：
  $2 \cdot 0 - 1 \cdot \sin(0 \cdot 1) + 1 = 0 - 0 + 1 = 1.$
• $F_y(0,1,-1)$：
  $-0 \cdot \sin(0 \cdot 1) + (-1) = 0 - 1 = -1.$
• $F_z(0,1,-1)$：
  $1.$
  因此，梯度向量（法向量）为$(1, -1, 1)$。

步骤4：写出切平面方程
切平面方程为：
$1 \cdot (x - 0) + (-1) \cdot (y - 1) + 1 \cdot (z + 1) = 0,$
化简得：
$x - y + 1 + z + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x - y + z = -2.$
对应选项A。