题目
-23 如图所示,一面积为4.0 cm2 共50 匝的小圆形线圈A,放在半径为20 cm 共100 匝的大圆形线圈B 的正中央,此两线圈同心且同平面.设线圈A 内各点的磁感强度可看作是相同的.求:(1) 两线圈的互感;(2) 当线圈B 中电流的变化率为-50 A·s－1 时,线圈A 中感应电动势的大小和方向.
-23 如图所示,一面积为
4.0 cm2 共50 匝的小圆形线圈A,放在半径为20 cm 共100 匝的大圆形线圈B 的正中央,此两线圈同心且同平面.设线圈A 内各点的磁感强度可看作是相同的.求:(1) 两线圈的互感;(2) 当线圈B 中电流的变化率为-50 A·s－1 时,线圈A 中感应电动势的大小和方向.
4.0 cm2 共50 匝的小圆形线圈A,放在半径为20 cm 共100 匝的大圆形线圈B 的正中央,此两线圈同心且同平面.设线圈A 内各点的磁感强度可看作是相同的.求:(1) 两线圈的互感;(2) 当线圈B 中电流的变化率为-50 A·s－1 时,线圈A 中感应电动势的大小和方向.
题目解答
答案
分析 设回路Ⅰ中通有电流I1 ,穿过回路Ⅱ的磁通量为Φ21 ,则互感M =M21 =Φ21I1 ;也可设回路Ⅱ通有电流I2 ,穿过回路Ⅰ的磁通量为Φ12 ,则
.
虽然两种途径所得结果相同,但在很多情况下,不同途径所涉及的计算难易程度会有很大的不同.以本题为例,如设线圈B 中有电流I 通过,则在线圈A 中心处的磁感强度很易求得,由于线圈A 很小,其所在处的磁场可视为均匀的,因而穿过线圈A 的磁通量Φ≈BS.反之,如设线圈A 通有电流I,其周围的磁场分布是变化的,且难以计算,因而穿过线圈B 的磁通量也就很难求得,由此可见,计算互感一定要善于选择方便的途径.
解 (1) 设线圈B 有电流I 通过,它在圆心处产生的磁感强度
穿过小线圈A 的磁链近似为
则两线圈的互感为
(2)
互感电动势的方向和线圈B 中的电流方向相同.
解析
步骤 1：计算线圈B在中心处产生的磁感强度
线圈B在中心处产生的磁感强度为：
${B}_{0}={N}_{B}\dfrac {{\mu }_{0}I}{2R}$
其中，${N}_{B}$为线圈B的匝数，${\mu }_{0}$为真空磁导率，$I$为线圈B中的电流，$R$为线圈B的半径。
步骤 2：计算穿过线圈A的磁链
穿过线圈A的磁链近似为：
${\varphi }_{A}={N}_{A}{B}_{D}{S}_{A}={N}_{A}{N}_{B}\dfrac {{\mu }_{0}I}{2R}{S}_{A}$
其中，${N}_{A}$为线圈A的匝数，${S}_{A}$为线圈A的面积。
步骤 3：计算两线圈的互感
两线圈的互感为：
$M=\dfrac {{\varphi }_{A}}{I}={N}_{A}{N}_{B}\dfrac {{\mu }_{0}{S}_{A}}{2R}$
步骤 4：计算线圈A中的感应电动势
线圈A中的感应电动势为：
${\varepsilon }_{A}=-M\dfrac {dI}{dt}$
其中，$\dfrac {dI}{dt}$为线圈B中电流的变化率。
线圈B在中心处产生的磁感强度为：
${B}_{0}={N}_{B}\dfrac {{\mu }_{0}I}{2R}$
其中，${N}_{B}$为线圈B的匝数，${\mu }_{0}$为真空磁导率，$I$为线圈B中的电流，$R$为线圈B的半径。
步骤 2：计算穿过线圈A的磁链
穿过线圈A的磁链近似为：
${\varphi }_{A}={N}_{A}{B}_{D}{S}_{A}={N}_{A}{N}_{B}\dfrac {{\mu }_{0}I}{2R}{S}_{A}$
其中，${N}_{A}$为线圈A的匝数，${S}_{A}$为线圈A的面积。
步骤 3：计算两线圈的互感
两线圈的互感为：
$M=\dfrac {{\varphi }_{A}}{I}={N}_{A}{N}_{B}\dfrac {{\mu }_{0}{S}_{A}}{2R}$
步骤 4：计算线圈A中的感应电动势
线圈A中的感应电动势为：
${\varepsilon }_{A}=-M\dfrac {dI}{dt}$
其中，$\dfrac {dI}{dt}$为线圈B中电流的变化率。