已知(overrightarrow{OA)= overrightarrow(i)+ 3overrightarrow(k)}，(overrightarrow{OB)= overrightarrow(j)+ 3overrightarrow(k)}，则(triangle OAB)的面积为( )A. (dfrac{sqrt(19))(2)}B. (2sqrt(19))C. (sqrt(19))D. (8sqrt(19))

步骤 1：计算向量$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$的模长
向量$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{k}$，其模长$OA = \sqrt{1^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{10}$。
向量$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k}$，其模长$OB = \sqrt{0^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$。
步骤 2：计算向量$\overrightarrow{AB}$的模长
向量$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k}) - (\overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{k}) = -\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}$，其模长$AB = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$。
步骤 3：计算三角形$OAB$的面积
三角形$OAB$是等腰三角形，底边$AB = \sqrt{2}$，高$h = \sqrt{OA^2 - \left(\frac{AB}{2}\right)^2} = \sqrt{10 - \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{2}}$。
三角形$OAB$的面积$S = \frac{1}{2} \times AB \times h = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{19}}{2}$。