点电荷Q位于无限大导体平面上方的高度h处,求出导体平面上的感应电荷密度σ。

本题考查静电场中导体的性质以及电场叠加原理的应用。解题的关键思路是利用导体内部电场强度为零这一特性，通过镜像法来求解导体平面上的感应电荷密度。

详细解析

1. 镜像法原理：
   • 由于导体是等势体，在静电平衡状态下，导体内部电场强度$\vec{E}_{内}=0$。对于位于无限大导体平面上方高度$h$处的点电荷$Q$，我们可以利用镜像法来等效处理。在导体平面下方与点电荷$Q$关于导体平面对称的位置放置一个镜像电荷$Q'$，且$Q'=-Q$。这样，导体平面上任意一点的电场就可以看作是点电荷$Q$和镜像电荷$Q'$共同产生的电场的叠加。
2. 计算导体平面上的电场强度：
   • 设导体平面上某一点$P$，点电荷$Q$到$P$点的距离为$r_1$，镜像电荷$Q'$到$P$点的距离为$r_2$。根据点电荷的电场强度公式$\vec{E}=\frac{kQ}{r^{2}}\hat{r}$（其中$k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$），点电荷$Q$在$P$点产生的电场强度$\vec{E}_Q=\frac{kQ}{r_1^{2}}\hat{r}_1$，镜像电荷$Q'$在$P$点产生的电场强度$\vec{E}_{Q'}=\frac{kQ'}{r_2^{2}}\hat{r}_2$。
   • 因为$Q'=-Q$，且$r_1 = r_2$（由对称性可知），所以$\vec{E}_Q$和$\vec{E}_{Q'}$大小相等，方向相反，即$\vec{E}_P=\vec{E}_Q+\vec{E}_{Q'}=0$，这满足导体内部电场强度为零的条件。
3. 计算导体平面上的感应电荷密度：
   • 我们可以将导体平面上的感应电荷看作是由镜像电荷$Q'$等效产生的。在导体平面上取一个半径为$r$，宽度为$dr$的圆环，圆环的面积$dS = 2\pi rdr$。
   • 以点电荷$Q$为球心，$r$为半径作一个球面，根据高斯定理$\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q_{enc}}{\epsilon_0}$，在导体平面上，我们可以通过计算通过圆环的电通量来求解感应电荷。
   • 点电荷$Q$在圆环处产生的电场强度$E=\frac{kQ}{r^{2}}$，通过圆环的电通量$d\varPhi_E = E\cdot dS=\frac{kQ}{r^{2}}\cdot 2\pi rdr$。
   • 又因为$d\varPhi_E=\frac{dq_{ind}}{\epsilon_0}$（$dq_{ind}$为圆环上的感应电荷），所以$dq_{ind}=\epsilon_0d\varPhi_E=\frac{Q}{2\pi r}dr$。
   • 感应电荷密度$\sigma=\frac{dq_{ind}}{dS}$，将$dq_{ind}=\frac{Q}{2\pi r}dr$和$dS = 2\pi rdr$代入可得：
     • $\sigma=\frac{\frac{Q}{2\pi r}dr}{2\pi rdr}=\frac{Q}{4\pi r^{2}}$。
   • 由几何关系可知$r^{2}=h^{2}+x^{2}$（$x$为圆环到点电荷$Q$在导体平面投影点的水平距离），当我们考虑整个导体平面时，在距离点电荷$Q$投影点$x$处的感应电荷密度$\sigma=\frac{Q}{4\pi(h^{2}+x^{2})}$。如果只考虑距离点电荷$Q$投影点为$0$（即正下方）的情况，此时$x = 0$，则$\sigma=\frac{Q}{4\pi h^{2}}$。