一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱（半径为a）和一同轴的导体圆管（内、外半径分别 为b，c）构成，如图所示。使用时，电流I从一导体流去，从另一导体流回。设电流都是均匀地分布在导体的横截面上，求： （1）导体圆柱内（r＜a） （2）两导体之间（a＜r＜b） （3）导体圆筒内（b＜r＜c）以及（4）电缆外（r＞c）各点处磁感应强度的大小 b-|||-a

考查要点：本题主要考查安培环路定理在同轴电缆磁场中的应用，需结合电流分布特点，分区域讨论磁场分布。

解题核心思路：

1. 确定电流分布：导体圆柱和导体圆管的电流密度分别为均匀分布，需注意电流方向相反。
2. 分区域分析：根据半径分四个区域，分别计算各区域包围的电流。
3. 应用安培环路定理：对称性下，磁场大小仅与径向距离相关，环路积分简化为 $B \cdot 2\pi r = \mu_0 I_{\text{enc}}$。

破题关键点：

• 电流方向：圆柱电流与圆管电流方向相反，需注意符号。
• 包围电流计算：不同区域需分别考虑圆柱和圆管电流的叠加。

（1）导体圆柱内（$r < a$）

计算包围电流

圆柱电流密度 $J_1 = \frac{I}{\pi a^2}$，半径 $r$ 处电流为：
$I_{\text{enc}} = J_1 \cdot \pi r^2 = I \cdot \frac{r^2}{a^2}$

应用安培定理

$B \cdot 2\pi r = \mu_0 I_{\text{enc}} \implies B = \frac{\mu_0 I r}{2\pi a^2}$

（2）两导体之间（$a < r < b$）

计算包围电流

仅圆柱电流 $I$ 被完全包围，圆管电流未被包含：
$I_{\text{enc}} = I$

应用安培定理

$B \cdot 2\pi r = \mu_0 I \implies B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$

（3）导体圆筒内（$b < r < c$）

计算包围电流

• 圆柱电流 $I$ 被完全包围。
• 圆管电流密度 $J_2 = \frac{I}{\pi (c^2 - b^2)}$，半径 $r$ 处电流为：
  $I_{\text{enc,管}} = J_2 \cdot \pi (r^2 - b^2) = I \cdot \frac{r^2 - b^2}{c^2 - b^2}$
• 总电流（注意方向相反）：
  $I_{\text{enc}} = I - I_{\text{enc,管}} = I \left[ 1 - \frac{r^2 - b^2}{c^2 - b^2} \right] = I \cdot \frac{c^2 - r^2}{c^2 - b^2}$

应用安培定理

$B \cdot 2\pi r = \mu_0 I_{\text{enc}} \implies B = \frac{\mu_0 I (c^2 - r^2)}{2\pi r (c^2 - b^2)}$

（4）电缆外（$r > c$）

计算包围电流

圆柱和圆管电流方向相反，总电流抵消：
$I_{\text{enc}} = I - I = 0$

应用安培定理

$B \cdot 2\pi r = 0 \implies B = 0$