9-15 在单缝夫琅禾费衍射实验中,缝宽 a=-|||-0.100mm,波长为 lambda =500m 的单色平行光垂直入射-|||-于单缝上,会聚透镜的焦距 =1.00m. 求中央亮纹旁-|||-的第一个亮纹的宽度.

本题考查单缝夫琅禾费衍射中亮纹宽度的计算，关键是明确中央亮纹旁第一个亮纹的位置范围，并利用衍射公式求解。

步骤1：单缝衍射的暗纹条件

单缝夫琅禾费衍射的暗纹条件为：
$a\sin\theta = k\lambda \quad (k = \pm1, \pm2, \pm3, \dots)$
其中：

• $a = 0.100\,\text{mm} = 0.100 \times 10^{-3}\,\text{m}$（缝宽），
• $\lambda = 500\,\text{nm} = 500 \times 10^{-9}\,\text{m}$（波长），
• $k$为暗纹级数，$\theta$为衍射角，
• $f = 1.00\,\text{m}$（透镜焦距）。

步骤2：中央亮纹旁第一个亮纹的范围

中央亮纹（$k=0$）的范围是$-\theta_1 < \theta < \theta_1$（$\theta_1$对应$k=1$的暗纹角），第一个亮纹（$k=1$级亮纹）的范围是$\theta_1 < \theta < \theta_2$（$\theta_2$对应$k=2$的暗纹角）。

由于衍射角$\theta$很小，$\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta$（弧度），且屏上位置$x = f\tan\theta \approx f\theta$，因此暗纹位置可近似为：
$x_k = \pm k\frac{f\lambda}{a}$

步骤3：第一个亮纹的宽度计算

第一个亮纹的宽度为$k=2$与$k=1$的暗纹位置之差：
$\Delta x = x_2 - x_1 = \left(2\frac{f\lambda}{a}\right) - \left(1\frac{f\lambda}{a}\right) = \frac{f\lambda}{a}$

步骤4：代入数据计算

$\Delta x = \frac{1.00 \times 500 \times 10^{-9}}{0.100 \times 10^{-3}} = 5.00 \times 10^{-3}\,\text{m} = 5.00\,\text{mm}$