题目
如右图4所示,载流为I的竖直无限长直导线,与半径R半圆形导体框共面,其中直径AB是水平状态,A点与载流线相距为a。当导体框由静止不落H高度时,求:(1)该瞬时半圆形导体框中的感应电动势;(2)该瞬时AB边的电动势大小和方向。C-|||-a R d-|||-- --|||-B-|||-H-|||-图4
如右图4所示,载流为I的竖直无限长直导线,与半径R半圆形导体框共面,其中直径AB是水平状态,A点与载流线相距为a。当导体框由静止不落H高度时,求:(1)该瞬时半圆形导体框中的感应电动势;(2)该瞬时AB边的电动势大小和方向。
题目解答
答案
（1）设垂直纸面向里为磁感应强度的正方向。
无限长直导线在空间产生的磁感应强度为
（r 为到直导线的距离）
在半圆形导体框下落 H 高度时，通过导体框的磁通量为：
磁通量的变化率为：
其中 v 是导体框下落的瞬时速度，
所以感应电动势
，方向为顺时针。
（2）AB 边的电动势等于整个半圆形导体框的电动势的一半。
所以
，方向由 B 指向 A .
解析
步骤 1：计算磁通量
无限长直导线在空间产生的磁感应强度为$B=\dfrac {{\mu }_{0}I}{2\pi r}$（r 为到直导线的距离）
在半圆形导体框下落 H 高度时，通过导体框的磁通量为：
ϕ= ${\int }_{a}^{a+R}\dfrac {{\mu }_{0}I}{2\pi r}\cdot Rdr$
$=\dfrac {{\mu }_{0}IR}{2\pi }\ln \dfrac {a+R}{a}$
步骤 2：计算磁通量的变化率
磁通量的变化率为：
$\dfrac {d\Phi }{dt}=\dfrac {{\mu }_{0}IR}{2\pi }\cdot \dfrac {1}{(a+R)}$ v
其中 v 是导体框下落的瞬时速度，$v=\sqrt {2gH}$
步骤 3：计算感应电动势
所以感应电动势$\varepsilon =-\dfrac {{\mu }_{0}IR}{2\pi }\cdot \dfrac {1}{(a+R)}\cdot \sqrt {2gH}$，方向为顺时针。
步骤 4：计算AB边的电动势
AB 边的电动势等于整个半圆形导体框的电动势的一半。
所以${\varepsilon }_{AB}=-\dfrac {1}{2}\varepsilon =\dfrac {{\mu }_{0}IR}{4\pi }\cdot \dfrac {1}{(a+R)}\cdot \sqrt {2gH}$，方向由 B 指向 A .
无限长直导线在空间产生的磁感应强度为$B=\dfrac {{\mu }_{0}I}{2\pi r}$（r 为到直导线的距离）
在半圆形导体框下落 H 高度时，通过导体框的磁通量为：
ϕ= ${\int }_{a}^{a+R}\dfrac {{\mu }_{0}I}{2\pi r}\cdot Rdr$
$=\dfrac {{\mu }_{0}IR}{2\pi }\ln \dfrac {a+R}{a}$
步骤 2：计算磁通量的变化率
磁通量的变化率为：
$\dfrac {d\Phi }{dt}=\dfrac {{\mu }_{0}IR}{2\pi }\cdot \dfrac {1}{(a+R)}$ v
其中 v 是导体框下落的瞬时速度，$v=\sqrt {2gH}$
步骤 3：计算感应电动势
所以感应电动势$\varepsilon =-\dfrac {{\mu }_{0}IR}{2\pi }\cdot \dfrac {1}{(a+R)}\cdot \sqrt {2gH}$，方向为顺时针。
步骤 4：计算AB边的电动势
AB 边的电动势等于整个半圆形导体框的电动势的一半。
所以${\varepsilon }_{AB}=-\dfrac {1}{2}\varepsilon =\dfrac {{\mu }_{0}IR}{4\pi }\cdot \dfrac {1}{(a+R)}\cdot \sqrt {2gH}$，方向由 B 指向 A .