求由摆线 x=a(t-sin t), y=a(1-cos t) 的一拱 (0 leq t leq 2pi)与横轴所围成的图形面积 A. piB. pi a^2C. 2pi a^2D. 3pi a^2

为了求由摆线 $x = a(t - \sin t)$, $y = a(1 - \cos t)$ 的一拱 $(0 \le t \le 2\pi)$ 与横轴所围成的图形面积，我们可以使用参数方程表示的曲线下的面积公式。由参数方程 $x = f(t)$ 和 $y = g(t)$ 从 $t = \alpha$ 到 $t = \beta$ 所围成的面积 $A$ 由下式给出： \[ A = \int_{\alpha}^{\beta} y(t) \, x'(t) \, dt \] 对于给定的摆线，我们有 $x = a(t - \sin t)$ 和 $y = a(1 - \cos t)$。首先，我们需要找到 $x$ 关于 $t$ 的导数： \[ x'(t) = a(1 - \cos t) \] 现在，将 $y(t)$ 和 $x'(t)$ 代入面积公式，我们得到： \[ A = \int_{0}^{2\pi} a(1 - \cos t) \cdot a(1 - \cos t) \, dt = a^2 \int_{0}^{2\pi} (1 - \cos t)^2 \, dt \] 接下来，我们需要展开并积分 $(1 - \cos t)^2$： \[ (1 - \cos t)^2 = 1 - 2\cos t + \cos^2 t \] 使用恒等式 $\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}$，我们可以重写被积函数： \[ 1 - 2\cos t + \cos^2 t = 1 - 2\cos t + \frac{1 + \cos 2t}{2} = \frac{2}{2} - \frac{4\cos t}{2} + \frac{1 + \cos 2t}{2} = \frac{3 - 4\cos t + \cos 2t}{2} \] 因此，积分变为： \[ A = a^2 \int_{0}^{2\pi} \frac{3 - 4\cos t + \cos 2t}{2} \, dt = \frac{a^2}{2} \int_{0}^{2\pi} (3 - 4\cos t + \cos 2t) \, dt \] 我们可以将这个积分拆分为三个独立的积分： \[ A = \frac{a^2}{2} \left( \int_{0}^{2\pi} 3 \, dt - 4 \int_{0}^{2\pi} \cos t \, dt + \int_{0}^{2\pi} \cos 2t \, dt \right) \] 分别计算每个积分，我们得到： \[ \int_{0}^{2\pi} 3 \, dt = 3t \bigg|_{0}^{2\pi} = 3(2\pi) - 3(0) = 6\pi \] \[ \int_{0}^{2\pi} \cos t \, dt = \sin t \bigg|_{0}^{2\pi} = \sin(2\pi) - \sin(0) = 0 \] \[ \int_{0}^{2\pi} \cos 2t \, dt = \frac{1}{2} \sin 2t \bigg|_{0}^{2\pi} = \frac{1}{2} \sin(4\pi) - \frac{1}{2} \sin(0) = 0 \] 将这些结果代回 $A$ 的表达式中，我们得到： \[ A = \frac{a^2}{2} \left( 6\pi - 4 \cdot 0 + 0 \right) = \frac{a^2}{2} \cdot 6\pi = 3\pi a^2 \] 因此，由摆线的一拱与横轴所围成的图形面积是 $\boxed{3\pi a^2}$。正确选项是 $\boxed{D}$。