有两个同方向同频率的简谐振动 A 和 B，其合振动的振幅为 0.20 , (m)，相位与简谐振动 A 的相位差为 (pi)/(6)，已知简谐振动 A 的振幅为 0.173 , (m)，求简谐振动 B 的振幅，以及简谐振动 A 和 B 的相位差。

题目分析

已知有两个同方向同频率的简谐振动 $A$ 和 $B$，其合振动的振幅为 $A = 0.20\text{ m}$，合振动的相位与简谐振动 $A$ 的相位差为 $\frac{\pi}{6}$。已知简谐振动 $A$ 的振幅为 $A_1 = 0.173\text{ m}$。

我们需要求：

1. 简谐振动 $B$ 的振幅 $A_2$。
2. 简谐振动 $A$ 和 $B$ 的相位差（即 $\phi_2 - \phi_1$）。

建立矢量关系

根据同方向同频率简谐振动的合成原理，合振动的振幅矢量 $\vec{A}$ 是各分振动振幅矢量 $\vec{A}_1$ 和 $\vec{A}_2$ 的矢量和，即：
$\vec{A} = \vec{A}_1 + \vec{A}_2$

我们可以建立一个矢量三角形。已知：

• 合振幅 $A = 0.20\text{ m}$
• 分振幅 $A_1 = 0.173\text{ m}$ （注意到 $0.173 \approx \sqrt{3} \times 0.1$）
• 合振动 $\vec{A}$ 与分振动 $\vec{A}_1$ 的夹角为 $\frac{\pi}{6}$ （即 $30^\circ$）

根据矢量加法，$\vec{A}_2 = \vec{A} - \vec{A}_1$。在由 $\vec{A}_1, \vec{A}_2, \vec{A}$ 构成的三角形中，已知两边 $A, A_1$ 及其夹角 $\frac{\pi}{6}$，我们可以利用余弦定理求出第三边 $A_2$ 的长度。

计算简谐振动 $B$ 的振幅 $A_2$

在矢量三角形中，$A_2$ 是连接 $\vec{A}_1$ 末端到 $\vec{A}$ 末端的矢量。根据余弦定理：
$A_2^2 = A^2 + A_1^2 - 2 A A_1 \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$

代入已知数值：

• $A = 0.20\text{ m}$
• $A_1 = 0.173\text{ m} \approx 0.1\sqrt{3}\text{ m}$
• $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

计算各项：
$A^2 = 0.20^2 = 0.04$
$A_1^2 = (0.1\sqrt{3})^2 = 0.03$
$2 A A_1 \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \times 0.20 \times 0.1\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.20 \times 0.1 \times 3 = 0.06$

将这些值代入公式：
$A_2^2 = 0.04 + 0.03 - 0.06 = 0.01$
$A_2 = \sqrt{0.01} = 0.10\text{ m}$

确定相位差

我们需要求 $\vec{A}_1$ 和 $\vec{A}_2$ 之间的夹角，即相位差 $\Delta\phi = \phi_2 - \phi_1$。

已知 $\vec{A}_1$ 和 $\vec{A}$ 的夹角为 $30^\circ$。我们来分析三角形的内角。
在由 $A_1, A, A_2$ 构成的三角形中，三边长分别为：

• $A = 0.20$
• $A_1 = 0.173 \approx 0.1\sqrt{3}$
• $A_2 = 0.10$

观察这三边的平方：
$A_2^2 + A_1^2 = 0.01 + 0.03 = 0.04 = A^2$
这说明该三角形是一个直角三角形，且 $A$ 为斜边。也就是说，矢量 $\vec{A}_1$ 和 $\vec{A}_2$ 是互相垂直的（在矢量加法 $\vec{A} = \vec{A}_1 + \vec{A}_2$ 中，$\vec{A}_1$ 和 $\vec{A}_2$ 首尾相接，它们的夹角关系需要明确）。

因为 $A^2 = A_1^2 + A_2^2$，所以 $\vec{A}_1$ 和 $\vec{A}_2$ 作为分矢量，当它们按平行四边形法则合成时，它们之间的夹角 $\theta$ 满足：
$A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos\theta$
代入数值：
$0.04 = 0.03 + 0.01 + 2 \times 0.1\sqrt{3} \times 0.1 \times \cos\theta$
$0.04 = 0.04 + 0.02\sqrt{3} \cos\theta \implies \cos\theta = 0$
所以 $\theta = \frac{\pi}{2}$ （$90^\circ$）。

已知合矢量 $\vec{A}$ 与 $\vec{A}_1$ 的夹角为 $30^\circ$。在直角矢量三角形中，$\tan\alpha = \frac{A_2 \sin\theta}{A_1 + A_2 \cos\theta}$ （$\alpha$ 为合矢量与 $A_1$ 的夹角）。因为 $\theta = 90^\circ$，所以 $\tan\alpha = \frac{A_2}{A_1} = \frac{0.1}{0.1\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$，得出 $\alpha = 30^\circ$，这与题目已知条件完全吻合。

此时，$\vec{A}_2$ 相对于 $\vec{A}_1$ 的相位差即为 $\theta = 90^\circ = \frac{\pi}{2}$。

结论

• 简谐振动 $B$ 的振幅：$0.10\text{ m}$。
• 简谐振动 $A$ 和 $B$ 的相位差：$\frac{\pi}{2}$ （即 $B$ 的相位比 $A$ 超前或落后 $\frac{\pi}{2}$，由合相位在中间可知，$B$ 的相位比 $A$ 超前 $\frac{\pi}{2}$）。