5.20 有25 mo1的单原子气体,做如图5.24所示的循环-|||-过程(ac为等温过程)。 _(1)=4.15times (10)^5Pa _(1)=2.0times (10)^-2(m)^3, V2-|||-=3.0times (10)^-2(m)^3 求:(1)各过程中的热量、内能改变以及所做-|||-的功;(2)循环的效率。-|||-p↑-|||-a(p1,V1,T1) b(p1,V2,T2)-|||-c(p2,V2,T1)-|||-v-|||-图5.24 习题5.20图
题目解答
答案
解析
考察知识
理想气体状态方程、热力学热力学第一定律、等温过程/等压过程/等容过程的特征、循环效率公式。
解题题目思路
1. 确定各过程性质及状态参量
- 过程ab：等压膨胀（$p=p_1$，V_1→V_2$）
- 过程bc：等容降压（$V=V_2，p_1→p_2$，因ac等温$T_1$，由$pV=nRT$得$p_2=p_1V_1/V_2$）
- 过程ca：等温压缩（$T=T_1，V_2→V_1$）
关键状态量：
- $T_1=\frac{p_1V_1}{nR}=\frac{4.15×10^5×2×10^{-2}}{25×8.31}≈400\,\text{K}$
（$R=8.31\,\text{J/(mol·K)}$） - $ $n=25\,\text{mol}$，单原子气体$C_V=\frac{3}{2}R$，$C_p=C_V+R=\frac{5}{2}R$
2. 计算各过程的热量$Q$、内能变化$\Delta U$、功$W$
热力学第一定律：$Q=\Delta U+W$
-
过程ab（等压膨胀）
$\Delta U=nC_Vn\Delta T=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1)=\frac{3}{2}(p_2V_2-p_1V_1)=\frac{3}{2}p_1(V_2-V_1)$
（$\Delta T=\frac{p_2V_2-p_1V_1}{nR}$，$p_2=p_1$）
$W=p_1(V_2-V_1)=4.15×10^5×(3-2)×10^{-2}=4.15×10^3\,\text{J}$
$Q=\Delta U+W=\frac{5}{2}×4.15×10^3≈1.04×10^4\,\text{J}$ -
过程bc（等容降压）
$W=0$（等容）
$\Delta U=\frac{3}{2}nR(T_1-T_2)=\frac{3}{2}(p_1V_1-p_2V_2)=\frac{3}{2}(p_1V_1-p_1V_1\frac{V_1}{V_2})=\frac{3}{2}p_1V_1(1-\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^2$
（$T_2=\frac{p_1V_2}{nR}=\frac{p_1V_2}{nR}$，$T_1-T_2=\frac{p_1}{nR}\left(\frac{V_1}{n}-\frac{V_2}{n}\right)$？不，$T_1=\frac{p_1V_1}{nR}$，$T_2=\frac{p_1V_2}{nR}$，$\Delta T=T_1-T2=\frac{p_1}{nR}(V1-V2)$）
正确：$\Delta U=\frac{3}{2}nR(T1-T2)=\frac{3}{2}(p1V1-p1V2)=\frac{3}{2}×4.1500×(-1×10^{-2})=-6225\,\text{J}≈-6.23×10^3\,\text{J}$
$Q=\Delta U+W=-6.23×10^3\,\text{J$ -
过程ca（等温压缩）
$\Delta U=0$（等温）
$W=nRT1\ln\frac{V1}{V2}=25×8.31×400×\ln\left(\frac{2}{3}\right)≈-3370\,\text{J}=-3.37×10^3\,\text{J}$
$Q=W=-3.37×10^3\,\text{J}$
3. 循环效率$\eta$卡诺循环效率公式：$\eta=1-\frac{Q_{放}}{Q_{吸}}$）
- 吸热$Q_{吸}$：仅过程ab吸热最多（$Q_{ab}=1.04×10^4\,\text{J}$，$Q_{bc}、Q_{ca}$为负，放热）
- 放热$Q_{放}$：总放热$|Q_{bc}|+|Q_{ca}|=6.23×10^3+3.37×10^3=9.6×10^3\,\text{J}$
- $\eta=1-\frac{9.6×10^3}{1.04×10^4}≈1-0.923=0.077=7.7\%$