1.-|||-证明:当 gt 0 时, gt ln (1+x)

步骤 1：定义函数
定义函数 $f(x) = x - \ln(1+x)$，其中 $x > 0$。我们需要证明 $f(x) > 0$ 对于所有 $x > 0$ 成立。

步骤 2：计算导数
计算 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$。根据导数的定义，我们有：
$$
f'(x) = \frac{d}{dx}(x - \ln(1+x)) = 1 - \frac{1}{1+x}
$$

步骤 3：分析导数的符号
分析 $f'(x)$ 的符号。由于 $x > 0$，我们有 $1 + x > 1$，因此 $\frac{1}{1+x} < 1$。所以：
$$
f'(x) = 1 - \frac{1}{1+x} > 0
$$
这意味着 $f(x)$ 在区间 $(0, +\infty)$ 上是严格单调增加的。

步骤 4：确定函数的值
由于 $f(x)$ 在区间 $(0, +\infty)$ 上是严格单调增加的，且 $f(0) = 0 - \ln(1+0) = 0$，因此对于所有 $x > 0$，我们有 $f(x) > f(0) = 0$。即：
$$
x - \ln(1+x) > 0
$$
从而得到：
$$
x > \ln(1+x)
$$