题目
10.14一根无限长导线弯成如图形状,设各线段都在同一平面内(纸面内),其中bc段是-|||-半径为R的四分之一圆弧,其余为直线。导线中通有电流I,求图中O点处的磁感应强度。-|||-c-|||-I-|||-R d e-|||-a b ò R-|||-习题10.14图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定各段导线在O点产生的磁场
- 无限长直导线在O点产生的磁场为零，因为O点在导线的延长线上。
- bc段是半径为R的四分之一圆弧，根据毕奥-萨伐尔定律，圆弧在O点产生的磁场为：${B}_{bc}=\dfrac{{\mu}_{0}I}{4R}$。
- cd段是直线，根据安培环路定理，直线在O点产生的磁场为：${B}_{cd}=\dfrac{{\mu}_{0}I}{2\pi R}$。
步骤 2：计算O点处的总磁感应强度
- O点处的总磁感应强度为bc段和cd段产生的磁场的矢量和。
- 由于bc段和cd段产生的磁场方向相同，所以总磁感应强度为：$B_{总} = B_{bc} + B_{cd} = \dfrac{{\mu}_{0}I}{4R} + \dfrac{{\mu}_{0}I}{2\pi R}$。
步骤 3：简化总磁感应强度表达式
- 将总磁感应强度表达式进行简化：$B_{总} = \dfrac{{\mu}_{0}I}{4R} + \dfrac{{\mu}_{0}I}{2\pi R} = \dfrac{{\mu}_{0}I}{4R} \left(1 + \dfrac{2}{\pi}\right)$。
- 无限长直导线在O点产生的磁场为零，因为O点在导线的延长线上。
- bc段是半径为R的四分之一圆弧，根据毕奥-萨伐尔定律，圆弧在O点产生的磁场为：${B}_{bc}=\dfrac{{\mu}_{0}I}{4R}$。
- cd段是直线，根据安培环路定理，直线在O点产生的磁场为：${B}_{cd}=\dfrac{{\mu}_{0}I}{2\pi R}$。
步骤 2：计算O点处的总磁感应强度
- O点处的总磁感应强度为bc段和cd段产生的磁场的矢量和。
- 由于bc段和cd段产生的磁场方向相同，所以总磁感应强度为：$B_{总} = B_{bc} + B_{cd} = \dfrac{{\mu}_{0}I}{4R} + \dfrac{{\mu}_{0}I}{2\pi R}$。
步骤 3：简化总磁感应强度表达式
- 将总磁感应强度表达式进行简化：$B_{总} = \dfrac{{\mu}_{0}I}{4R} + \dfrac{{\mu}_{0}I}{2\pi R} = \dfrac{{\mu}_{0}I}{4R} \left(1 + \dfrac{2}{\pi}\right)$。