设 L 为 x^2 + y^2 = a^2 的顺时针方向，则 int_(L) xy^2 dy - yx^2 dx = ( ). A. -(1)/(2) pi a^4B. -pi a^4C. pi a^4D. (1)/(2) pi a^4

为了求解曲线积分 $\oint_{L} xy^2 \, dy - yx^2 \, dx$，其中 $L$ 是圆 $x^2 + y^2 = a^2$ 的顺时针方向，我们可以使用格林公式。格林公式指出，对于一个正向、分段光滑、简单闭曲线 $C$ 和一个平面区域 $D$，如果 $P(x, y)$ 和 $Q(x, y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数，那么 \[ \oint_{C} (P \, dx + Q \, dy) = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA. \] 在本题中，我们有 $P(x, y) = -yx^2$ 和 $Q(x, y) = xy^2$。首先，我们计算偏导数： \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (xy^2) = y^2, \] \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (-yx^2) = -x^2. \] 根据格林公式，我们得到 \[ \oint_{L} xy^2 \, dy - yx^2 \, dx = \iint_{D} \left( y^2 - (-x^2) \right) \, dA = \iint_{D} (x^2 + y^2) \, dA. \] 由于 $L$ 是顺时针方向，格林公式中的曲线积分需要取相反数，即 \[ \oint_{L} xy^2 \, dy - yx^2 \, dx = -\iint_{D} (x^2 + y^2) \, dA. \] 现在，我们计算二重积分 $\iint_{D} (x^2 + y^2) \, dA$。使用极坐标变换 $x = r \cos \theta$ 和 $y = r \sin \theta$，其中 $0 \leq r \leq a$ 和 $0 \leq \theta \leq 2\pi$， Jacobian 行列式为 $r$，所以 \[ \iint_{D} (x^2 + y^2) \, dA = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} r^2 \cdot r \, dr \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} r^3 \, dr \, d\theta. \] 先对 $r$ 积分，我们得到 \[ \int_{0}^{a} r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{a} = \frac{a^4}{4}. \] 再对 $\theta$ 积分，我们得到 \[ \int_{0}^{2\pi} \frac{a^4}{4} \, d\theta = \frac{a^4}{4} \left[ \theta \right]_{0}^{2\pi} = \frac{a^4}{4} \cdot 2\pi = \frac{\pi a^4}{2}. \] 因此， \[ \iint_{D} (x^2 + y^2) \, dA = \frac{\pi a^4}{2}, \] 所以 \[ \oint_{L} xy^2 \, dy - yx^2 \, dx = -\frac{\pi a^4}{2}. \] 答案是 $\boxed{A}$。