题目
16-11 如题 16-11 图,真空中,一长直导线通以-|||-交变电流 =(I)_(0)sin omega t, 在此导线旁边平行地放一长-|||-为l,宽为a的长方形线圈,靠近导线的一边与导-|||-线相距为d.求任一时刻线圈中的感应电动势.-|||-d a-|||-I square l-|||-题 16-11 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定磁场分布
长直导线通以交变电流 $I={I}_{0}\sin \omega t$，根据安培环路定理，导线周围产生的磁场 $B$ 与距离导线的距离 $r$ 成反比，即 $B=\dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$，其中 ${\mu }_{0}$ 是真空磁导率。
步骤 2：计算磁通量
长方形线圈的面积为 $l \times a$，靠近导线的一边与导线相距为 $d$，因此，线圈中的磁通量 $\Phi$ 可以表示为 $\Phi = \int_{d}^{d+a} B \cdot l \, dr = \int_{d}^{d+a} \dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi r} \cdot l \, dr$。
步骤 3：计算感应电动势
根据法拉第电磁感应定律，线圈中的感应电动势 $e$ 与磁通量的变化率成正比，即 $e = -\dfrac{d\Phi}{dt}$。将步骤 2 中的磁通量代入，得到 $e = -\dfrac{d}{dt} \left( \int_{d}^{d+a} \dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi r} \cdot l \, dr \right)$。由于 $I={I}_{0}\sin \omega t$，代入后得到 $e = -\dfrac{{\mu }_{0}l{I}_{0}\omega}{2\pi} \cos \omega t \ln \dfrac{a+d}{d}$。
长直导线通以交变电流 $I={I}_{0}\sin \omega t$，根据安培环路定理，导线周围产生的磁场 $B$ 与距离导线的距离 $r$ 成反比，即 $B=\dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$，其中 ${\mu }_{0}$ 是真空磁导率。
步骤 2：计算磁通量
长方形线圈的面积为 $l \times a$，靠近导线的一边与导线相距为 $d$，因此，线圈中的磁通量 $\Phi$ 可以表示为 $\Phi = \int_{d}^{d+a} B \cdot l \, dr = \int_{d}^{d+a} \dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi r} \cdot l \, dr$。
步骤 3：计算感应电动势
根据法拉第电磁感应定律，线圈中的感应电动势 $e$ 与磁通量的变化率成正比，即 $e = -\dfrac{d\Phi}{dt}$。将步骤 2 中的磁通量代入，得到 $e = -\dfrac{d}{dt} \left( \int_{d}^{d+a} \dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi r} \cdot l \, dr \right)$。由于 $I={I}_{0}\sin \omega t$，代入后得到 $e = -\dfrac{{\mu }_{0}l{I}_{0}\omega}{2\pi} \cos \omega t \ln \dfrac{a+d}{d}$。