正方形的一条对角线的两端点处各放置电荷Q，另一条对角线的两端点处各放置电荷q，若Q所受到合力为零，则Q与q的关系为？A. Q=-2sqrt(2)qB. Q=2sqrt(2)qC. Q=-2qD. Q=2q

本题考查库仑定律以及力的合成知识。解题的关键思路是先根据库仑定律分别求出作用在电荷$Q$上的各个库仑力，再对这些力进行合成，由于$Q$所受合力为零，由此建立等式来求解$Q$与$q$的关系。

设正方形的边长为$a$。

1. 分析电荷$Q$所受的库仑力：
   • 对于放置在同一条对角线两端点的另一个电荷$Q$，根据库仑定律$F = k\frac{Q_1Q_2}{r^2}$（其中$k$为静电力常量，$Q_1$、$Q_2$为两电荷的电荷量，$r$为两电荷间的距离），此时$Q_1 = Q_2 = Q$，两电荷间距离$r=\sqrt{2}a$，则它们之间的库仑力$F_{QQ}=k\frac{Q\cdot Q}{(\sqrt{2}a)^2}=\frac{kQ^{2}}{2a^{2}}$，方向沿对角线方向。
   • 对于放置在另一条对角线两端点的电荷$q$，每个$q$与$Q$的距离$r = a$，则$Q$与每个$q$之间的库仑力$F_{Qq}=k\frac{Q\cdot q}{a^{2}}$。这两个$F_{Qq}$的方向相互垂直。
2. 对力进行合成：
   • 根据平行四边形定则，两个相互垂直的力$F_{Qq}$的合力$F_{合q}$大小为$F_{合q}=\sqrt{F_{Qq}^{2}+F_{Qq}^{2}}=\sqrt{2}F_{Qq}$。
   • 将$F_{Qq}=k\frac{Q\cdot q}{a^{2}}$代入上式，可得$F_{合q}=\sqrt{2}k\frac{Q\cdot q}{a^{2}}$，方向沿对角线方向，且与$F_{QQ}$方向相反。
3. 根据合力为零列方程求解：
   • 因为$Q$所受到合力为零，所以$F_{QQ}=F_{合q}$，即$\frac{kQ^{2}}{2a^{2}}=\sqrt{2}k\frac{Q\cdot q}{a^{2}}$。
   • 由于$Q\neq0$（若$Q = 0$，则不存在库仑力的问题），方程两边同时约去$k$、$a^{2}$和$Q$，得到$\frac{Q}{2}=\sqrt{2}q$。
   • 进一步求解可得$Q = 2\sqrt{2}q$。
   • 又因为$F_{QQ}$与$F_{合q}$方向相反，要使合力为零，$Q$与$q$必然异号，所以$Q=-2\sqrt{2}q$。