质量m的粒子束缚在势阱宽度a的一维对称无限深势阱中,若初始时粒子处于第二激发态,求t时刻粒子的状态波函数( )

本题考查一维对称无限深势阱中粒子的定态波函数及其时间演化。关键点如下：

1. 确定激发态对应的量子数：第二激发态对应量子数$n=3$。
2. 定态波函数形式：在势阱内为$\sqrt{\dfrac{2}{a}}\sin\left(\dfrac{n\pi x}{a}\right)$，需代入$n=3$。
3. 能量计算：能量公式为$E_n = \dfrac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2m a^2}$，需注意普朗克常数的正确使用。
4. 时间演化：波函数随时间的相位因子为$e^{-i E_n t / \hbar}$。

步骤1：确定量子数$n$

• 基态为$n=1$，第一激发态为$n=2$，第二激发态对应$n=3$。

步骤2：写出定态波函数

在势阱内（$0 < x < a$），定态波函数为：
$\psi_3(x) = \sqrt{\dfrac{2}{a}} \sin\left(\dfrac{3\pi x}{a}\right)$

步骤3：计算能量$E_3$

根据无限深势阱能量公式：
$E_n = \dfrac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2m a^2}$
代入$n=3$得：
$E_3 = \dfrac{9 \pi^2 \hbar^2}{2m a^2}$

步骤4：构建时间依赖的波函数

定态波函数随时间的演化形式为：
$\phi(x,t) = \psi_n(x) e^{-i E_n t / \hbar}$
代入$n=3$和$E_3$，最终波函数为：
$\phi(x,t) = \sqrt{\dfrac{2}{a}} \sin\left(\dfrac{3\pi x}{a}\right) e^{-i \dfrac{9\pi^2 \hbar t}{2m a^2}}$