题目
一个半径为R、面电荷密度为σ的均匀带电圆盘,以角速度w绕过圆心且垂直盘面的轴线-|||-AA' 旋转;今将其放入磁感强度为B的均匀外磁场中,B的方向垂直于轴线AA'.在距盘-|||-心为r处取一宽为dr的圆环,则圆环内相当于有电流 __ ,该电流环所受-|||-磁力矩的大小为 __ ,圆盘所受合力矩的大小为 __
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算圆环内的电流
圆环的面积为 $2\pi r dr$，电荷密度为 $\sigma$，因此圆环上的电荷量为 $dq = \sigma 2\pi r dr$。圆环以角速度 $\omega$ 旋转，因此圆环上的电流为 $I = dq \omega = \sigma 2\pi r dr \omega$。
步骤 2：计算圆环所受的磁力矩
圆环所受的磁力矩为 $dM = I A B = \sigma 2\pi r dr \omega \pi r^2 B = \sigma 2\pi^2 r^3 dr \omega B$。
步骤 3：计算圆盘所受的合力矩
圆盘所受的合力矩为所有圆环所受的磁力矩之和，即 $M = \int_0^R dM = \int_0^R \sigma 2\pi^2 r^3 dr \omega B = \sigma 2\pi^2 \omega B \int_0^R r^3 dr = \sigma 2\pi^2 \omega B \frac{R^4}{4} = \frac{\pi \sigma \omega R^4 B}{2}$。
圆环的面积为 $2\pi r dr$，电荷密度为 $\sigma$，因此圆环上的电荷量为 $dq = \sigma 2\pi r dr$。圆环以角速度 $\omega$ 旋转，因此圆环上的电流为 $I = dq \omega = \sigma 2\pi r dr \omega$。
步骤 2：计算圆环所受的磁力矩
圆环所受的磁力矩为 $dM = I A B = \sigma 2\pi r dr \omega \pi r^2 B = \sigma 2\pi^2 r^3 dr \omega B$。
步骤 3：计算圆盘所受的合力矩
圆盘所受的合力矩为所有圆环所受的磁力矩之和，即 $M = \int_0^R dM = \int_0^R \sigma 2\pi^2 r^3 dr \omega B = \sigma 2\pi^2 \omega B \int_0^R r^3 dr = \sigma 2\pi^2 \omega B \frac{R^4}{4} = \frac{\pi \sigma \omega R^4 B}{2}$。