题目
求极限lim _(xarrow infty )dfrac (1+2{e)^x}(1-3{e)^2x}-|||-__-|||-lim _(xarrow {0)^+}dfrac (1+2{e)^dfrac (1{x)}}(1-3{e)^dfrac (1{x)}}
求极限
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析极限$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {1+2{e}^{x}}{1-3{e}^{2x}}$
当$x\rightarrow \infty$时，$e^{x}$和$e^{2x}$都趋向于无穷大，因此我们需要将分子和分母都除以$e^{2x}$，以便观察极限的性质。
步骤 2：计算$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {1+2{e}^{x}}{1-3{e}^{2x}}$
将分子和分母都除以$e^{2x}$，得到$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {1+2{e}^{x}}{1-3{e}^{2x}}=\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {\dfrac {1}{e^{2x}}+\dfrac {2}{e^{x}}}{\dfrac {1}{e^{2x}}-3}$。当$x\rightarrow \infty$时，$\dfrac {1}{e^{2x}}$和$\dfrac {2}{e^{x}}$都趋向于0，因此极限值为$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {0+0}{0-3}=\dfrac {0}{-3}=0$。
步骤 3：分析极限$\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}\dfrac {1+2{e}^{\dfrac {1}{x}}}{1-3{e}^{\dfrac {1}{x}}}$
当$x\rightarrow {0}^{+}$时，$\dfrac {1}{x}$趋向于无穷大，因此我们需要将分子和分母都除以$e^{\dfrac {1}{x}}$，以便观察极限的性质。
步骤 4：计算$\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}\dfrac {1+2{e}^{\dfrac {1}{x}}}{1-3{e}^{\dfrac {1}{x}}}$
将分子和分母都除以$e^{\dfrac {1}{x}}$，得到$\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}\dfrac {1+2{e}^{\dfrac {1}{x}}}{1-3{e}^{\dfrac {1}{x}}}=\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}\dfrac {\dfrac {1}{e^{\dfrac {1}{x}}}+2}{\dfrac {1}{e^{\dfrac {1}{x}}}-3}$。当$x\rightarrow {0}^{+}$时，$\dfrac {1}{e^{\dfrac {1}{x}}}$趋向于0，因此极限值为$\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}\dfrac {0+2}{0-3}=\dfrac {2}{-3}=-\dfrac {2}{3}$。
当$x\rightarrow \infty$时，$e^{x}$和$e^{2x}$都趋向于无穷大，因此我们需要将分子和分母都除以$e^{2x}$，以便观察极限的性质。
步骤 2：计算$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {1+2{e}^{x}}{1-3{e}^{2x}}$
将分子和分母都除以$e^{2x}$，得到$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {1+2{e}^{x}}{1-3{e}^{2x}}=\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {\dfrac {1}{e^{2x}}+\dfrac {2}{e^{x}}}{\dfrac {1}{e^{2x}}-3}$。当$x\rightarrow \infty$时，$\dfrac {1}{e^{2x}}$和$\dfrac {2}{e^{x}}$都趋向于0，因此极限值为$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {0+0}{0-3}=\dfrac {0}{-3}=0$。
步骤 3：分析极限$\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}\dfrac {1+2{e}^{\dfrac {1}{x}}}{1-3{e}^{\dfrac {1}{x}}}$
当$x\rightarrow {0}^{+}$时，$\dfrac {1}{x}$趋向于无穷大，因此我们需要将分子和分母都除以$e^{\dfrac {1}{x}}$，以便观察极限的性质。
步骤 4：计算$\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}\dfrac {1+2{e}^{\dfrac {1}{x}}}{1-3{e}^{\dfrac {1}{x}}}$
将分子和分母都除以$e^{\dfrac {1}{x}}$，得到$\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}\dfrac {1+2{e}^{\dfrac {1}{x}}}{1-3{e}^{\dfrac {1}{x}}}=\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}\dfrac {\dfrac {1}{e^{\dfrac {1}{x}}}+2}{\dfrac {1}{e^{\dfrac {1}{x}}}-3}$。当$x\rightarrow {0}^{+}$时，$\dfrac {1}{e^{\dfrac {1}{x}}}$趋向于0，因此极限值为$\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}\dfrac {0+2}{0-3}=\dfrac {2}{-3}=-\dfrac {2}{3}$。