题目
两个质量为m1和m2的小球在一直线上作完全弹性碰撞，碰撞前两小球的速度分别为v1和v2（方向相同）。（1）求碰撞过程中两小球间距离最小时的速度；（2）两小球间距离最小时小球形变最大，求最大形变势能？
两个质量为m1和m2的小球在一直线上作完全弹性碰撞，碰撞前两小球的速度分别为v1和v2（方向相同）。
（1）求碰撞过程中两小球间距离最小时的速度；
（2）两小球间距离最小时小球形变最大，求最大形变势能？
（1）求碰撞过程中两小球间距离最小时的速度；
（2）两小球间距离最小时小球形变最大，求最大形变势能？
题目解答
答案
解：（1）两球碰撞过程系统内力远大于外力，系统动量守恒，
当两球间的距离最小时，两球的速度相等，设为v，以碰撞前球的速度方向为正方向，
由动量守恒定律得：m1v1+m2v2=（m1+m2）v
解得：v=$\frac{{m}_{1}{v}_{1}+{m}_{2}{v}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$
（2）设两球距离最小时最大形变势能为ΔE，
由能量守恒定律得：$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}=\frac{1}{2}({m}_{1}+{m}_{2}){v}^{2}$+ΔE
解得：ΔE=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}$-$\frac{({m}_{1}{v}_{1}+{m}_{2}{v}_{2})^{2}}{2({m}_{1}+{m}_{2})}$
答：（1）碰撞过程中两小球间距离最小时的速度大小是$\frac{{m}_{1}{v}_{1}+{m}_{2}{v}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$，方向与碰撞前速度方向相同；
（2）两小球间距离最小时小球形变最大，最大形变势能是$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}$-$\frac{({m}_{1}{v}_{1}+{m}_{2}{v}_{2})^{2}}{2({m}_{1}+{m}_{2})}$。
当两球间的距离最小时，两球的速度相等，设为v，以碰撞前球的速度方向为正方向，
由动量守恒定律得：m1v1+m2v2=（m1+m2）v
解得：v=$\frac{{m}_{1}{v}_{1}+{m}_{2}{v}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$
（2）设两球距离最小时最大形变势能为ΔE，
由能量守恒定律得：$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}=\frac{1}{2}({m}_{1}+{m}_{2}){v}^{2}$+ΔE
解得：ΔE=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}$-$\frac{({m}_{1}{v}_{1}+{m}_{2}{v}_{2})^{2}}{2({m}_{1}+{m}_{2})}$
答：（1）碰撞过程中两小球间距离最小时的速度大小是$\frac{{m}_{1}{v}_{1}+{m}_{2}{v}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$，方向与碰撞前速度方向相同；
（2）两小球间距离最小时小球形变最大，最大形变势能是$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}$-$\frac{({m}_{1}{v}_{1}+{m}_{2}{v}_{2})^{2}}{2({m}_{1}+{m}_{2})}$。
解析
步骤 1：动量守恒定律
在碰撞过程中，由于内力远大于外力，系统动量守恒。设碰撞后两小球的速度为v，以碰撞前小球的速度方向为正方向，根据动量守恒定律，有：
\[ m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1 + m_2)v \]
步骤 2：求解碰撞后速度
解上述方程，得到碰撞后两小球的速度v：
\[ v = \frac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2} \]
步骤 3：能量守恒定律
在碰撞过程中，系统机械能守恒。设两小球间距离最小时最大形变势能为ΔE，根据能量守恒定律，有：
\[ \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2 + ΔE \]
步骤 4：求解最大形变势能
将步骤2中求得的v代入上述方程，解得最大形变势能ΔE：
\[ ΔE = \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 - \frac{(m_1v_1 + m_2v_2)^2}{2(m_1 + m_2)} \]
在碰撞过程中，由于内力远大于外力，系统动量守恒。设碰撞后两小球的速度为v，以碰撞前小球的速度方向为正方向，根据动量守恒定律，有：
\[ m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1 + m_2)v \]
步骤 2：求解碰撞后速度
解上述方程，得到碰撞后两小球的速度v：
\[ v = \frac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2} \]
步骤 3：能量守恒定律
在碰撞过程中，系统机械能守恒。设两小球间距离最小时最大形变势能为ΔE，根据能量守恒定律，有：
\[ \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2 + ΔE \]
步骤 4：求解最大形变势能
将步骤2中求得的v代入上述方程，解得最大形变势能ΔE：
\[ ΔE = \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 - \frac{(m_1v_1 + m_2v_2)^2}{2(m_1 + m_2)} \]