题目

6 单选 (6分)某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量X与消光系数读数Y的五组观测数据(x_(i),y_(i))别为(2,64),(4,138),(6,205),(8,285),(10,360)，并计算得sum_(i=1)^5x_(i)=220,sum_(i=1)^5y_(i)=275990,sum_(i=1)^5x_(i)y_(i)=7790设消光系数Y关于尿汞含量X的理论回归方程为Y=alpha+beta X+varepsilon，且varepsilonsim N(0,sigma^2).(1)用最小二乘法求Y关于Ax的经验回归方程: ( )(A)hat(y)=11.3+36.95x (B)hat(y)=-11.3-36.95x(C)hat(y)=-11.3+36.95x (D)hat(y)=11.3-36.95x(2)用相关系数检验法检验回归方程是否显著。其中alpha=0.01,R_(0.01)(3)=0.959. ( )(A)显著 (B)不显著 (C)不能判定 (D)不会算

6 单选 (6分) 某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量X与消光系数读数Y的五组观测数据$(x_{i},y_{i})$别为(2,64),(4,138),(6,205),(8,285),(10,360)，并计算得$\sum_{i=1}^{5}x_{i}=220,\sum_{i=1}^{5}y_{i}=275990,\sum_{i=1}^{5}x_{i}y_{i}=7790$ 设消光系数Y关于尿汞含量X的理论回归方程为$Y=\alpha+\beta X+\varepsilon$，且$\varepsilon\sim N(0,\sigma^{2})$. (1)用最小二乘法求Y关于$Ax$的经验回归方程: ( ) (A)$\hat{y}=11.3+36.95x$ (B)$\hat{y}=-11.3-36.95x$ (C)$\hat{y}=-11.3+36.95x$ (D)$\hat{y}=11.3-36.95x$ (2)用相关系数检验法检验回归方程是否显著。其中$\alpha=0.01,R_{0.01}(3)=0.959$. ( ) (A)显著 (B)不显著 (C)不能判定 (D)不会算

题目解答

答案

为了解决这个问题，我们需要使用最小二乘法找到经验回归方程，然后使用相关系数检验法检验回归方程是否显著。

第一步：计算经验回归方程

经验回归方程由 $\hat{y} = \alpha + \beta x$ 给出，其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 是使用最小二乘法估计的系数。系数的公式为：
$\beta = \frac{\sum_{i=1}^5 (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^5 (x_i - \bar{x})^2}$
$\alpha = \bar{y} - \beta \bar{x}$

首先，我们计算 $\bar{x}$ 和 $\bar{y}$：
$\bar{x} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = 6$
$\bar{y} = \frac{64 + 138 + 205 + 285 + 360}{5} = 210.4$

接下来，我们计算 $\beta$：
$\sum_{i=1}^5 (x_i - \bar{x})^2 = (2-6)^2 + (4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 + (10-6)^2 = 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40$
$\sum_{i=1}^5 (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = (2-6)(64-210.4) + (4-6)(138-210.4) + (6-6)(205-210.4) + (8-6)(285-210.4) + (10-6)(360-210.4)$
$= (-4)(-146.4) + (-2)(-72.4) + 0 + 2 \cdot 74.6 + 4 \cdot 149.6$
$= 585.6 + 144.8 + 149.2 + 598.4 = 1478$
$\beta = \frac{1478}{40} = 36.95$

现在，我们计算 $\alpha$：
$\alpha = \bar{y} - \beta \bar{x} = 210.4 - 36.95 \cdot 6 = 210.4 - 221.7 = -11.3$

因此，经验回归方程为：
$\hat{y} = -11.3 + 36.95x$

正确答案是：
$\boxed{C}$

第二步：使用相关系数检验法检验回归方程是否显著

相关系数 $r$ 由下式给出：
$r = \frac{\sum_{i=1}^5 (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^5 (x_i - \bar{x})^2 \sum_{i=1}^5 (y_i - \bar{y})^2}}$

我们已经计算了 $\sum_{i=1}^5 (x_i - \bar{x})^2 = 40$ 和 $\sum_{i=1}^5 (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = 1478$。现在，我们计算 $\sum_{i=1}^5 (y_i - \bar{y})^2$：
$\sum_{i=1}^5 (y_i - \bar{y})^2 = (64-210.4)^2 + (138-210.4)^2 + (205-210.4)^2 + (285-210.4)^2 + (360-210.4)^2$
$= (-146.4)^2 + (-72.4)^2 + (-5.4)^2 + 74.6^2 + 149.6^2$
$= 21432.96 + 5241.76 + 29.16 + 5565.16 + 22380.16 = 54659.2$

现在，我们计算 $r$：
$r = \frac{1478}{\sqrt{40 \cdot 54659.2}} = \frac{1478}{\sqrt{2186368}} = \frac{1478}{1478.63} \approx 0.9996$

由于 $r$ 非常接近 1，且 $|r| > R_{0.01}(3) = 0.959$，我们得出结论，回归方程是显著的。

正确答案是：
$\boxed{A}$