题目
【填空题】质量 m =1kg 的物体,在坐标原点处从静止出发在水平面内沿 x 轴运动,其所受合力方向与运动方向相同,合力大小为 F =3+2 x ( SI ),那么,物体在开始运动的 3m 内,合力所作功 W = ;且 x =3m 时,其速率 v =
【填空题】质量 m =1kg 的物体,在坐标原点处从静止出发在水平面内沿 x 轴运动,其所受合力方向与运动方向相同,合力大小为 F =3+2 x ( SI ),那么,物体在开始运动的 3m 内,合力所作功 W = ;且 x =3m 时,其速率 v =
题目解答
答案
18J，6m/s
解析
步骤 1：计算合力所作功
根据功的定义，功等于力与位移的乘积。由于力是随位移变化的，我们需要对力函数进行积分来计算功。力函数为 F = 3 + 2x，位移从 0 到 3m。
\[ W = \int_{0}^{3} F dx = \int_{0}^{3} (3 + 2x) dx \]
步骤 2：计算积分
\[ W = \int_{0}^{3} (3 + 2x) dx = [3x + x^2]_{0}^{3} = (3 \times 3 + 3^2) - (3 \times 0 + 0^2) = 9 + 9 = 18J \]
步骤 3：计算速率
根据动能定理，合力所作的功等于物体动能的增加量。动能的表达式为 \( E_k = \frac{1}{2}mv^2 \)，其中 m 是物体的质量，v 是物体的速率。由于物体从静止开始运动，其初始动能为零，因此合力所作的功等于物体的最终动能。
\[ W = \frac{1}{2}mv^2 \]
\[ 18 = \frac{1}{2} \times 1 \times v^2 \]
\[ v^2 = 36 \]
\[ v = 6m/s \]
根据功的定义，功等于力与位移的乘积。由于力是随位移变化的，我们需要对力函数进行积分来计算功。力函数为 F = 3 + 2x，位移从 0 到 3m。
\[ W = \int_{0}^{3} F dx = \int_{0}^{3} (3 + 2x) dx \]
步骤 2：计算积分
\[ W = \int_{0}^{3} (3 + 2x) dx = [3x + x^2]_{0}^{3} = (3 \times 3 + 3^2) - (3 \times 0 + 0^2) = 9 + 9 = 18J \]
步骤 3：计算速率
根据动能定理，合力所作的功等于物体动能的增加量。动能的表达式为 \( E_k = \frac{1}{2}mv^2 \)，其中 m 是物体的质量，v 是物体的速率。由于物体从静止开始运动，其初始动能为零，因此合力所作的功等于物体的最终动能。
\[ W = \frac{1}{2}mv^2 \]
\[ 18 = \frac{1}{2} \times 1 \times v^2 \]
\[ v^2 = 36 \]
\[ v = 6m/s \]