两根质量相等、长度分别为l_1和l_2且l_1 >l_2的匀质细杆均可绕过端点的光滑轴在在竖直平面内转动。如两杆自水平位置由静止开始转动，转到竖直位置时所用的时间分别为t_1和t_2，对于t_1和t_2的大小下列判断正确的是（）(提示:比较两杆转动至任一相同角度时的角加速度。)A. 不能判断两者的大小B. t_1=t_2C. t_1 >t_2D. t_1

本题考查刚体转动的动力学问题，核心在于比较两根长度不同的匀质细杆绕端点转动的时间关系。解题的关键点在于：

1. 角加速度的表达式：通过转动定律和重力矩的计算，得出角加速度与杆长成反比；
2. 角加速度对转动时间的影响：角加速度越小，角速度增长越慢，导致转动时间更长；
3. 积分求解时间：需通过微分方程积分得到转动时间，但可通过比较角加速度的大小直接判断时间关系。

角加速度的推导

1. 转动惯量：匀质细杆绕端点的转动惯量为 $I = \frac{1}{3}ml^2$；
2. 重力矩：当杆转过角度 $\theta$ 时，重力矩为 $\tau = mg \cdot \frac{l}{2} \sin\theta$；
3. 转动定律：$\tau = I\alpha$，代入得 $\alpha = \frac{3g}{2l} \sin\theta$，角加速度与杆长成反比。

时间比较的关键

• 对于相同角度 $\theta$，长杆（$l_1$）的角加速度 $\alpha_1 = \frac{3g}{2l_1} \sin\theta$ 小于短杆（$l_2$）的 $\alpha_2 = \frac{3g}{2l_2} \sin\theta$；
• 角加速度越小，角速度增长越慢，因此长杆需要更多时间完成转动。

积分求解时间（简要分析）

通过微分方程 $\ddot{\theta} = \frac{3g}{2l} \sin\theta$ 积分可得转动时间，最终时间与杆长的平方根成正比，即 $t \propto \sqrt{\frac{l}{g}}$。因此，$l_1 > l_2$ 导致 $t_1 > t_2$。