1. 请写出电磁场基本方程的微分形式，并阐述各方程的物理意义。2. 试写出两种介质分界面静电场的边界条件。

本题主要考查电磁场基本方程的微分形式及其物理意义，以及两种介质分界面静电场的边界条件。解题思路是分别对电磁场基本方程的四个微分形式进行阐述，说明其物理意义，再写出两种介质分界面静电场的边界条件并解释原因。

1. 电磁场基本方程的微分形式及物理意义

• 高斯定律（电场散度）：
  • 公式为$\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$。
  • 物理意义：该方程表明电场的散度与空间中的电荷密度$\rho$有关。$\varepsilon_0$是真空介电常数，此方程说明电场是由电荷产生的，电荷是电场的源。当$\rho>0$时，电场线从正电荷发出；当$\rho < 0$时，电场线终止于负电荷。
• 高斯磁定律（磁场散度）：
  • 公式为$\nabla \cdot \vec{B} = 0$。
  • 物理意义：此方程说明磁场的散度恒为零，这意味着自然界中不存在磁单极子。磁场线是闭合曲线，没有起点和终点，磁通量是连续的。
• 法拉第电磁感应定律（电场旋度）：
  • 公式为$\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}$。
  • 物理意义：该方程描述了变化的磁场会产生电场。当磁场随时间变化时，会在空间中激发涡旋电场，电场线是闭合的。负号表示感应电场的方向与磁场变化的方向满足楞次定律。
• 安培 - 麦克斯韦定律（磁场旋度）：
  • 公式为$\nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{J}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}$。
  • 物理意义：此方程表明磁场的旋度由传导电流密度$\vec{J}$和位移电流密度$\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}$共同决定。$\mu_0$是真空磁导率，传导电流是由自由电荷的定向运动形成的，位移电流是由变化的电场产生的，它们共同产生磁场。

2. 两种介质分界面静电场的边界条件

• 电场切向分量连续：
  • 表达式为$E_{1t}=E_{2t}$，通常写成$\vec{E}_{1}=\vec{E}_{2}$（在分界面上切向方向）。
  • 原因：静电场是无旋场，即$\nabla\times\vec{E} = 0$。根据斯托克斯定理$\oint_{l}\vec{E}\cdot d\vec{l}=\iint_{S}(\nabla\times\vec{E})\cdot d\vec{S}$，由于$\nabla\times\vec{E} = 0$，所以$\oint_{l}\vec{E}\cdot d\vec{l}=0$。在分界面上取一个很小的矩形闭合回路，当回路的短边趋近于零时，可得电场切向分量连续。
• 电位移矢量法向分量连续：
  • 表达式为$D_{1n}-D_{2n}=\sigma$，通常写成$\vec{D}_{1}-\vec{D}_{2}=\sigma\vec{n}$（$\vec{n}$为分界面的法向单位矢量），当只考虑法向分量时可简化为$D_{1}-D_{2}=\sigma$。
  • 原因：根据高斯定律$\oint_{S}\vec{D}\cdot d\vec{S}=Q_{free}$，在分界面上取一个很小的扁平圆柱面，当圆柱面的高度趋近于零时，可得电位移矢量法向分量的差值等于分界面上的自由电荷面密度$\sigma$。这是因为电通量在分界面上要满足守恒定律。