设矩形D=[0,4]times[0,1],则intint_(D)minx,ydx dy=(). A)(11)/(6). B)(2)/(3). C)(4)/(3). D)(11)/(3).

为了求解二重积分 $\iint\limits_{D} \min\{x, y\} \, dxdy$，其中 $D = [0, 4] \times [0, 1]$，我们需要将区域 $D$ 分成两个部分，因为 $\min\{x, y\}$ 的值在 $x \leq y$ 和 $x > y$ 时是不同的。具体来说，当 $x \leq y$ 时，$\min\{x, y\} = x$；当 $x > y$ 时，$\min\{x, y\} = y$。 区域 $D$ 可以被直线 $y = x$ 分成两个部分： 1. 区域 $D_1$：$0 \leq x \leq 1$ 且 $0 \leq y \leq x$，在这个区域上 $\min\{x, y\} = y$。 2. 区域 $D_2$：$0 \leq x \leq 4$ 且 $x \leq y \leq 1$，在这个区域上 $\min\{x, y\} = x$。 但是，由于 $x$ 的范围是 $[0, 4]$ 而 $y$ 的范围是 $[0, 1]$，所以 $x \leq y$ 的情况只在 $0 \leq x \leq 1$ 时成立。因此，区域 $D_2$ 可以进一步简化为 $0 \leq x \leq 1$ 且 $x \leq y \leq 1$，以及 $1 \leq x \leq 4$ 且 $0 \leq y \leq 1$，在这个区域上 $\min\{x, y\} = y$。 所以，我们有： 1. 区域 $D_1$：$0 \leq x \leq 1$ 且 $0 \leq y \leq x$，在这个区域上 $\min\{x, y\} = y$。 2. 区域 $D_2$：$0 \leq x \leq 1$ 且 $x \leq y \leq 1$，在这个区域上 $\min\{x, y\} = x$。 3. 区域 $D_3$： $1 \leq x \leq 4$ 且 $0 \leq y \leq 1$，在这个区域上 $\min\{x, y\} = y$。 现在，我们分别计算在这些区域上的二重积分。 1. 在区域 $D_1$ 上： \[ \iint\limits_{D_1} \min\{x, y\} \, dxdy = \int_0^1 \int_0^x y \, dydx = \int_0^1 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^x \, dx = \int_0^1 \frac{x^2}{2} \, dx = \left[ \frac{x^3}{6} \right]_0^1 = \frac{1}{6}. \] 2. 在区域 $D_2$ 上： \[ \iint\limits_{D_2} \min\{x, y\} \, dxdy = \int_0^1 \int_x^1 x \, dydx = \int_0^1 x \left[ y \right]_x^1 \, dx = \int_0^1 x(1 - x) \, dx = \int_0^1 (x - x^2) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}. \] 3. 在区域 $D_3$ 上： \[ \iint\limits_{D_3} \min\{x, y\} \, dxdy = \int_1^4 \int_0^1 y \, dydx = \int_1^4 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^1 \, dx = \int_1^4 \frac{1}{2} \, dx = \frac{1}{2} \left[ x \right]_1^4 = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}. \] 将这三个积分的结果相加，得到： \[ \iint\limits_{D} \min\{x, y\} \, dxdy = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{3}{2} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{9}{6} = \frac{11}{6}. \] 因此，正确答案是 $\boxed{A}$。