在声速测量实验中,利用驻波法测量声速时,相邻两个驻波极大值之间的距离对应于声波的什么长度?A. 一个波长B. 半个波长C. 四分之一波长D. 两个波长
A. 一个波长
B. 半个波长
C. 四分之一波长
D. 两个波长
题目解答
答案
解析
本题考查声速测量实验中驻波法的相关知识,解题的关键在于理解驻波的形成原理以及驻波极大值的分布规律。
在驻波实验中,当两列振幅相同、频率相同、振动方向相同且传播方向相反的波相遇时,会形成驻波。设两列波的波动方程分别为:
$y_1 = A\cos(\omega t - kx)$
$y_2 = A\cos(\omega t + kx)$
其中$\omega$是角频率,$k$是波数,$x$是位置坐标。
根据波的叠加原理,两列波叠加后的合成波为:
$y = y_1 + y_2 = A\cos(\omega t - kx)+A\cos(\omega t + kx)$
利用三角函数的和差化积公式$\cos\alpha+\cos\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$,可得:
$y = 2A\cos kx\cos\omega t$
驻波的振幅$A_{驻}=|2A\cos kx|$,当$\cos kx=\pm1$时,出现驻波极大值,此时$kx = n\pi$($n = 0,1,2,\cdots$),即$x = n\frac{\pi}{k}$。
已知波数$k=\frac{2\pi}{\lambda}$($\lambda$为波长),则$x = n\frac{\lambda}{2}$。
相邻两个驻波极大值对应的$n$值相差$1$,设两个相邻极大值分别对应$n$和$n + 1$,则它们的位置分别为$x_n = n\frac{\lambda}{2}$和$x_{n + 1}=(n + 1)\frac{\lambda}{2}$。
相邻两个驻波极大值之间的距离$\Delta x=x_{n + 1}-x_n=(n + 1)\frac{\lambda}{2}-n\frac{\lambda}{2}=\frac{\lambda}{2}$,也就是半个波长。