题目
3.一无限长载流导线弯曲成如图 11-14 所示的形状,其中ba,de都延伸到无穷远处,-|||-导线中的电流为I,求圆心O处的磁感应强度B。-|||-c I-|||-R b a-|||-O-|||-e d-|||-图 11-14
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定各段导线对O点的贡献
根据毕奥-萨伐尔定律，无限长直导线在空间某点产生的磁感应强度与该点到导线的距离成反比，与电流成正比。对于弯曲的导线，可以将其分解为直线段和圆弧段，分别计算它们在O点产生的磁感应强度。
步骤 2：计算直线段对O点的贡献
对于直线段ba和de，它们在O点产生的磁感应强度大小相等，方向相反，因此它们在O点的总贡献为零。
步骤 3：计算圆弧段对O点的贡献
对于圆弧段cd，根据毕奥-萨伐尔定律，圆弧段在圆心O点产生的磁感应强度大小为$\dfrac{{\mu }_{0}I}{2R}$，方向垂直于纸面向外。但是，由于圆弧段cd只占整个圆周的$\dfrac{3}{4}$，因此其在O点产生的磁感应强度大小为$\dfrac{3}{4}\times \dfrac{{\mu }_{0}I}{2R}=\dfrac{3{\mu }_{0}I}{8R}$。
步骤 4：计算总磁感应强度
由于直线段对O点的贡献为零，因此O点的总磁感应强度等于圆弧段cd在O点产生的磁感应强度，即$\dfrac{3{\mu }_{0}I}{8R}$。但是，由于直线段ba和de在O点产生的磁感应强度大小相等，方向相反，因此它们在O点的总贡献为零，所以O点的总磁感应强度为$\dfrac{3{\mu }_{0}I}{8R}-\dfrac{{\mu }_{0}I}{4\pi R}$，方向垂直于纸面向外。
根据毕奥-萨伐尔定律，无限长直导线在空间某点产生的磁感应强度与该点到导线的距离成反比，与电流成正比。对于弯曲的导线，可以将其分解为直线段和圆弧段，分别计算它们在O点产生的磁感应强度。
步骤 2：计算直线段对O点的贡献
对于直线段ba和de，它们在O点产生的磁感应强度大小相等，方向相反，因此它们在O点的总贡献为零。
步骤 3：计算圆弧段对O点的贡献
对于圆弧段cd，根据毕奥-萨伐尔定律，圆弧段在圆心O点产生的磁感应强度大小为$\dfrac{{\mu }_{0}I}{2R}$，方向垂直于纸面向外。但是，由于圆弧段cd只占整个圆周的$\dfrac{3}{4}$，因此其在O点产生的磁感应强度大小为$\dfrac{3}{4}\times \dfrac{{\mu }_{0}I}{2R}=\dfrac{3{\mu }_{0}I}{8R}$。
步骤 4：计算总磁感应强度
由于直线段对O点的贡献为零，因此O点的总磁感应强度等于圆弧段cd在O点产生的磁感应强度，即$\dfrac{3{\mu }_{0}I}{8R}$。但是，由于直线段ba和de在O点产生的磁感应强度大小相等，方向相反，因此它们在O点的总贡献为零，所以O点的总磁感应强度为$\dfrac{3{\mu }_{0}I}{8R}-\dfrac{{\mu }_{0}I}{4\pi R}$，方向垂直于纸面向外。