11.一圆环形平板,内半径为r1,外半径为r2,侧面绝缘,如内圆温度保持零度,外圆温-|||-度保持1度,试求稳恒状态下的温度分布规律u(r,θ).

步骤 1：确定问题类型
这是一个稳恒状态下的热传导问题，需要求解温度分布规律。由于问题具有轴对称性，温度分布只与径向距离r有关，与角度θ无关。

步骤 2：写出热传导方程
在稳恒状态下，温度分布满足拉普拉斯方程，即
$$\nabla^2 u(r) = 0$$
在极坐标系下，拉普拉斯方程为
$$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right) = 0$$

步骤 3：求解拉普拉斯方程
对上述方程进行积分，得到
$$\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right) = C_1$$
其中$C_1$为积分常数。再次积分得到
$$r\frac{\partial u}{\partial r} = C_1r + C_2$$
$$\frac{\partial u}{\partial r} = C_1 + \frac{C_2}{r}$$
$$u(r) = C_1r + C_2\ln r + C_3$$
其中$C_1$、$C_2$、$C_3$为积分常数。

步骤 4：应用边界条件
根据题意，内圆温度保持零度，外圆温度保持1度，即
$$u(r_1) = 0$$
$$u(r_2) = 1$$
将边界条件代入上式，得到
$$C_1r_1 + C_2\ln r_1 + C_3 = 0$$
$$C_1r_2 + C_2\ln r_2 + C_3 = 1$$
由于温度分布只与径向距离r有关，与角度θ无关，所以$C_1 = 0$。因此，上式简化为
$$C_2\ln r_1 + C_3 = 0$$
$$C_2\ln r_2 + C_3 = 1$$
解得
$$C_2 = \frac{1}{\ln \frac{r_2}{r_1}}$$
$$C_3 = -\frac{\ln r_1}{\ln \frac{r_2}{r_1}}$$
因此，温度分布规律为
$$u(r) = \frac{1}{\ln \frac{r_2}{r_1}}\ln \frac{r}{r_1}$$