(2409)(10分)-|||-r2-|||-rǐ如图所示,一半径为r2电荷线密度为的均匀带电圆环,里边有一半径为r1总电阻为R的导体环,两环共面同心(r2 >> r1),当大环以变角速度t)绕垂直于环面的中心轴旋转时,求小环中的感应电流.其方向如何?

步骤 1：确定大环中的等效电流
大环以变角速度ω(t)旋转，其电荷线密度为λ，因此大环中的等效电流为
\[ I = \omega(t) \cdot \lambda \cdot 2\pi r_2 \]
步骤 2：计算大环在小环中心产生的磁感应强度
根据毕奥-萨伐尔定律，大环在小环中心产生的磁感应强度为
\[ B = \frac{\mu_0 I}{2r_2} = \frac{\mu_0 \omega(t) \lambda 2\pi r_2}{2r_2} = \mu_0 \omega(t) \lambda \pi \]
步骤 3：计算小环中的磁通量
小环的面积为 \(\pi r_1^2\)，因此小环中的磁通量为
\[ \phi = B \cdot \pi r_1^2 = \mu_0 \omega(t) \lambda \pi \cdot \pi r_1^2 = \mu_0 \omega(t) \lambda \pi^2 r_1^2 \]
步骤 4：计算小环中的感应电动势
根据法拉第电磁感应定律，小环中的感应电动势为
\[ \mathcal{E} = -\frac{d\phi}{dt} = -\mu_0 \lambda \pi^2 r_1^2 \frac{d\omega(t)}{dt} \]
步骤 5：计算小环中的感应电流
小环的总电阻为R，因此小环中的感应电流为
\[ i = \frac{\mathcal{E}}{R} = -\frac{\mu_0 \lambda \pi^2 r_1^2}{R} \cdot \frac{d\omega(t)}{dt} \]
步骤 6：确定感应电流的方向
当 \(\frac{d\omega(t)}{dt} > 0\) 时，即角速度增加时，感应电流为负值，即顺时针方向。
当 \(\frac{d\omega(t)}{dt} < 0\) 时，即角速度减小时，感应电流为正值，即逆时针方向。