题目

某批矿砂的 5 个样品中的镍含量，经测定为(%)3.25 3.27 3.24 3.26 3.24设测定值总体服从正态分布，但参数均未知，问在 a = 0.01 下能否接受假设：这 5 个样品中的镍含量的均值为 3.25。(t_(0.005)(4) = 4.6041)

某批矿砂的 5 个样品中的镍含量，经测定为(%) 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24 设测定值总体服从正态分布，但参数均未知，问在 $a = 0.01$ 下能否接受假设：这 5 个样品中的镍含量的均值为 3.25。$(t_{0.005}(4) = 4.6041)$

题目解答

答案

我们来解决这个假设检验的问题。题目要求我们判断在显著性水平 $ \alpha = 0.01 $ 下，是否可以接受“这批矿砂的镍含量均值为 3.25%”的假设。 --- ### 一、问题分析 - **样本数据**：镍含量为 3.25, 3.27, 3.24, 3.26, 3.24（单位：%） - **样本容量**：$ n = 5 $ - **总体分布**：正态分布（但参数未知） - **检验目标**：检验总体均值是否为 $ \mu_0 = 3.25 $ - **显著性水平**：$ \alpha = 0.01 $ - **临界值**：$ t_{0.005}(4) = 4.6041 $ --- ### 二、建立假设 - **原假设 $ H_0 $**：总体均值 $ \mu = 3.25 $ - **备择假设 $ H_1 $**：总体均值 $ \mu \ne 3.25 $ 这是一个**双侧检验**。 --- ### 三、计算样本统计量 #### 1. 计算样本均值 $ \bar{x} $ $$ \bar{x} = \frac{3.25 + 3.27 + 3.24 + 3.26 + 3.24}{5} = \frac{16.26}{5} = 3.252 $$ #### 2. 计算样本标准差 $ s $ $$ s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2} $$ 先计算每个数据与均值的差的平方： - $ (3.25 - 3.252)^2 = (-0.002)^2 = 0.000004 $ - $ (3.27 - 3.252)^2 = (0.018)^2 = 0.000324 $ - $ (3.24 - 3.252)^2 = (-0.012)^2 = 0.000144 $ - $ (3.26 - 3.252)^2 = (0.008)^2 = 0.000064 $ - $ (3.24 - 3.252)^2 = (-0.012)^2 = 0.000144 $ 求和： $$ \sum = 0.000004 + 0.000324 + 0.000144 + 0.000064 + 0.000144 = 0.00068 $$ $$ s = \sqrt{\frac{0.00068}{4}} = \sqrt{0.00017} \approx 0.01304 $$ #### 3. 计算 t 统计量 $$ t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} = \frac{3.252 - 3.25}{0.01304 / \sqrt{5}} = \frac{0.002}{0.01304 / 2.2361} \approx \frac{0.002}{0.00583} \approx 0.343 $$ --- ### 四、判断是否拒绝原假设 - 自由度 $ df = n - 1 = 4 $ - 双侧检验，显著性水平 $ \alpha = 0.01 $，对应的临界值为 $ t_{0.005}(4) = 4.6041 $ - 计算出的 t 值为 $ 0.343 $，小于临界值 $ 4.6041 $ --- ### 五、结论 因为 $ |t| = 0.343 < 4.6041 $，**不拒绝原假设**。 --- ### ✅ 最终答案： **可以接受假设：这批矿砂的镍含量均值为 3.25%。** $$ \boxed{\text{接受 } H_0} $$

解析

考查要点：本题主要考查单样本t检验的应用，用于判断正态分布总体均值是否等于某个假设值，当总体方差未知且样本量较小时。

解题核心思路：

  1. 确定检验类型：总体方差未知，样本量小（n=5），选择t检验。
  2. 建立假设：原假设$H_0: \mu = 3.25$，备择假设$H_1: \mu \ne 3.25$（双侧检验）。
  3. 计算统计量：需计算样本均值、样本标准差，再代入t检验公式。
  4. 判断临界值：根据显著性水平$\alpha=0.01$和自由度$df=4$，确定双侧临界值$t_{0.005}(4)=4.6041$。
  5. 比较t值与临界值：若$|t| < 临界值$，则不拒绝原假设。

破题关键：正确计算t统计量，并理解双侧检验中临界值的对称性。

1. 计算样本均值

$\bar{x} = \frac{3.25 + 3.27 + 3.24 + 3.26 + 3.24}{5} = \frac{16.26}{5} = 3.252$

2. 计算样本标准差

每个数据与均值的差的平方和为：
$\begin{aligned}(3.25-3.252)^2 &= 0.000004, \\(3.27-3.252)^2 &= 0.000324, \\(3.24-3.252)^2 &= 0.000144, \\(3.26-3.252)^2 &= 0.000064, \\(3.24-3.252)^2 &= 0.000144.\end{aligned}$
总和为：
$\sum = 0.000004 + 0.000324 + 0.000144 + 0.000064 + 0.000144 = 0.00068$
样本标准差：
$s = \sqrt{\frac{0.00068}{5-1}} = \sqrt{0.00017} \approx 0.01304$

3. 计算t统计量

$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} = \frac{3.252 - 3.25}{0.01304 / \sqrt{5}} \approx \frac{0.002}{0.00583} \approx 0.343$

4. 判断结果

  • 自由度$df = 5 - 1 = 4$，双侧临界值为$\pm 4.6041$。
  • $|t| = 0.343 < 4.6041$，不拒绝原假设。