同时测量能量为1keV作一维运动的电子的位置与动量时，若位置的不确定值在0.1nm（1nm=10-9m）内，则动量的不确定值的百分比Delta;p/p至少为何值？（电子质量me=9.11×10-31kg，1eV=1.60×10-19J，普朗克常量h=6.63×10-34Jmiddot;s）

本题考查的是海森堡不确定性原理以及动能与动量的关系。解题思路如下：

1. 首先根据动能与动量的关系公式，由已知的电子动能求出电子的动量 $p$。
2. 然后利用海森堡不确定性原理公式 $\Delta p\cdot\Delta x\geqslant\frac{h}{4\pi}$（这里以最常用的形式为例），结合已知的位置不确定值 $\Delta x$，求出动量的不确定值 $\Delta p$。
3. 最后计算动量不确定值的百分比 $\frac{\Delta p}{p}$。

步骤一：计算电子的动量 $p$

已知电子的动能 $E_{k}=1keV = 1\times10^{3}eV$，将其换算为焦耳：
$E_{k}=1\times10^{3}\times1.60\times10^{-19}J = 1.60\times10^{-16}J$
根据动能与动量的关系 $E_{k}=\frac{p^{2}}{2m}$，可得 $p = \sqrt{2mE_{k}}$，其中电子质量 $m = m_{e}=9.11\times10^{-31}kg$，则：
$p=\sqrt{2\times9.11\times10^{-31}\times1.60\times10^{-16}}kg\cdot m\cdot s^{-1}$
$=\sqrt{29.152\times10^{-47}}kg\cdot m\cdot s^{-1}$
$\approx1.71\times10^{-23}kg\cdot m\cdot s^{-1}$

步骤二：计算动量的不确定值 $\Delta p$

根据海森堡不确定性原理 $\Delta p\cdot\Delta x\geqslant\frac{h}{4\pi}$，取等号计算最小的动量不确定值，已知位置的不确定值 $\Delta x = 0.1nm = 0.1\times10^{-9}m$，普朗克常量 $h = 6.63\times10^{-34}J\cdot s$，则：
$\Delta p=\frac{h}{4\pi\Delta x}=\frac{6.63\times10^{-34}}{4\times3.14\times0.1\times10^{-9}}kg\cdot m\cdot s^{-1}$
$=\frac{6.63\times10^{-34}}{1.256\times10^{-9}}kg\cdot m\cdot s^{-1}$
$\approx0.106\times10^{-23}kg\cdot m\cdot s^{-1}$

步骤三：计算动量不确定值的百分比 $\frac{\Delta p}{p}$

$\frac{\Delta p}{p}=\frac{0.106\times10^{-23}}{1.71\times10^{-23}}\approx0.062 = 6.2\%$

若不确定关系式写成 $\Delta p\cdot\Delta x\geqslant h$，则：
$\Delta p=\frac{h}{\Delta x}=\frac{6.63\times10^{-34}}{0.1\times10^{-9}}kg\cdot m\cdot s^{-1}=6.63\times10^{-24}kg\cdot m\cdot s^{-1}$
$\frac{\Delta p}{p}=\frac{6.63\times10^{-24}}{1.71\times10^{-23}}\approx0.39 = 39\%$

若不确定关系式写成 $\Delta p\cdot\Delta x\geqslant\frac{h}{2}$，则：
$\Delta p=\frac{h}{2\Delta x}=\frac{6.63\times10^{-34}}{2\times0.1\times10^{-9}}kg\cdot m\cdot s^{-1}=3.315\times10^{-24}kg\cdot m\cdot s^{-1}$
$\frac{\Delta p}{p}=\frac{3.315\times10^{-24}}{1.71\times10^{-23}}\approx0.031 = 3.1\%$