题目
例 18-5 一内外半径分别为R1,R2的均匀带电平面圆-|||-环,电荷面密度为σ,其中心有一半径为r的导体小环( _(1)gt -|||-r),二者同心共面如图。设带电圆环以变角速度 omega =omega (t) 绕-|||-垂直于环面的中心轴旋转,导体小环中的感应电流i等于多-|||-少?方向如何(已知小环的电阻为R')?-|||-w(t)-|||-R2-|||-R1-|||-r-|||-例 18-5 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算带电圆环旋转产生的磁场
带电圆环旋转相当于圆环中通有电流I。在R1与R2之间取半径为R、宽度为dR的环带，环带内有电流 $dI=\sigma Rw(t)dR$。根据毕奥-萨伐尔定律，环带在圆心O点处产生的磁场为 $dB=\dfrac {1}{2}{\mu }_{0}dI=\dfrac {1}{2}\mu oow(t)dR$。因此，带电圆环在中心产生的磁感应强度的大小为 $B=\dfrac {1}{2}{\mu }_{0}\sigma \omega ({l}_{2}-{R}_{1})$。
步骤 2：计算导体小环中的感应电动势
选逆时针方向为小环回路的正方向，则小环中的磁通量为 $\phi \approx \dfrac {1}{2}\mu oow(t)({R}_{2}-{R}_{1})\pi {r}^{2}$。根据法拉第电磁感应定律，小环中的感应电动势为 ${e}_{1}=-\dfrac {d\phi }{dt}=-\dfrac {\mu }{2}\pi {r}^{2}({R}_{2}-{R}_{1})\sigma \dfrac {du}{dt}$。
步骤 3：计算导体小环中的感应电流
根据欧姆定律，小环中的感应电流为 $i=\dfrac {{e}_{1}}{R'}=-\dfrac {\mu {r}^{2}({R}_{2}-{R}_{1})\sigma }{2R'}\cdot \dfrac {dw(t)}{dt}$。方向：当 $d\omega (t)/dt\gt 0$ 时,i与选定的正方向相反;否则i与选定的正方向相同。
带电圆环旋转相当于圆环中通有电流I。在R1与R2之间取半径为R、宽度为dR的环带，环带内有电流 $dI=\sigma Rw(t)dR$。根据毕奥-萨伐尔定律，环带在圆心O点处产生的磁场为 $dB=\dfrac {1}{2}{\mu }_{0}dI=\dfrac {1}{2}\mu oow(t)dR$。因此，带电圆环在中心产生的磁感应强度的大小为 $B=\dfrac {1}{2}{\mu }_{0}\sigma \omega ({l}_{2}-{R}_{1})$。
步骤 2：计算导体小环中的感应电动势
选逆时针方向为小环回路的正方向，则小环中的磁通量为 $\phi \approx \dfrac {1}{2}\mu oow(t)({R}_{2}-{R}_{1})\pi {r}^{2}$。根据法拉第电磁感应定律，小环中的感应电动势为 ${e}_{1}=-\dfrac {d\phi }{dt}=-\dfrac {\mu }{2}\pi {r}^{2}({R}_{2}-{R}_{1})\sigma \dfrac {du}{dt}$。
步骤 3：计算导体小环中的感应电流
根据欧姆定律，小环中的感应电流为 $i=\dfrac {{e}_{1}}{R'}=-\dfrac {\mu {r}^{2}({R}_{2}-{R}_{1})\sigma }{2R'}\cdot \dfrac {dw(t)}{dt}$。方向：当 $d\omega (t)/dt\gt 0$ 时,i与选定的正方向相反;否则i与选定的正方向相同。