题目
[题目] lim _(xarrow infty )dfrac (x+sin x)(x)=()-|||-A.0-|||-B.1-|||-C.不存在-|||-D.无穷大
题目解答
答案
解析
步骤 1： 分析极限表达式
观察给定的极限表达式 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {x+\sin x}{x}$，可以将其分解为两个部分：$\dfrac{x}{x}$ 和 $\dfrac{\sin x}{x}$。其中，$\dfrac{x}{x}$ 显然等于 1，而 $\dfrac{\sin x}{x}$ 需要单独分析。
步骤 2： 分析 $\dfrac{\sin x}{x}$ 的极限
由于 $\sin x$ 的值域为 $[-1, 1]$，所以 $\dfrac{\sin x}{x}$ 的值域为 $[-\dfrac{1}{x}, \dfrac{1}{x}]$。当 $x$ 趋向于无穷大时，$\dfrac{1}{x}$ 趋向于 0，因此 $\dfrac{\sin x}{x}$ 也趋向于 0。
步骤 3： 结合两部分的极限
结合步骤 1 和步骤 2 的分析，可以得出 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {x+\sin x}{x} = \lim _{x\rightarrow \infty }1 + \lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac{\sin x}{x} = 1 + 0 = 1$。
观察给定的极限表达式 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {x+\sin x}{x}$，可以将其分解为两个部分：$\dfrac{x}{x}$ 和 $\dfrac{\sin x}{x}$。其中，$\dfrac{x}{x}$ 显然等于 1，而 $\dfrac{\sin x}{x}$ 需要单独分析。
步骤 2： 分析 $\dfrac{\sin x}{x}$ 的极限
由于 $\sin x$ 的值域为 $[-1, 1]$，所以 $\dfrac{\sin x}{x}$ 的值域为 $[-\dfrac{1}{x}, \dfrac{1}{x}]$。当 $x$ 趋向于无穷大时，$\dfrac{1}{x}$ 趋向于 0，因此 $\dfrac{\sin x}{x}$ 也趋向于 0。
步骤 3： 结合两部分的极限
结合步骤 1 和步骤 2 的分析，可以得出 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {x+\sin x}{x} = \lim _{x\rightarrow \infty }1 + \lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac{\sin x}{x} = 1 + 0 = 1$。