97 设函数F(u,v)可微，且F(x+(z)/(y),y+(z)/(x))=0确定隐函数z=z(x,y)，则z-x(partial z)/(partial x)-y(partial z)/(partial y)=____.

考查要点：本题主要考查隐函数求导法则的应用，以及对偏导数的计算和代数化简能力。关键在于正确应用链式法则对复合函数求导，并通过解方程得到偏导数表达式，最终代入目标式进行化简。

解题核心思路：

1. 设定中间变量：将复合函数中的中间变量$u = x + \frac{z}{y}$和$v = y + \frac{z}{x}$分离，便于应用链式法则。
2. 对$x$和$y$分别求偏导：利用隐函数定理，对等式$F(u, v) = 0$分别关于$x$和$y$求偏导，建立方程求解$\frac{\partial z}{\partial x}$和$\frac{\partial z}{\partial y}$。
3. 代入目标表达式：将求得的偏导数代入$z - x\frac{\partial z}{\partial x} - y\frac{\partial z}{\partial y}$，通过代数化简得到最终结果。

破题关键点：

• 链式法则的正确应用：明确$u$和$v$对$x$、$y$的依赖关系，正确计算偏导数。
• 方程求解的代数技巧：将偏导数表达式整理为关于$\frac{\partial z}{\partial x}$和$\frac{\partial z}{\partial y}$的线性方程，解出偏导数。
• 化简技巧：通过因式分解和约分简化最终表达式，发现关键项的抵消关系。

设中间变量$u = x + \frac{z}{y}$，$v = y + \frac{z}{x}$，则$F(u, v) = 0$。对$x$和$y$分别求偏导：

对$x$求偏导

对等式$F(u, v) = 0$关于$x$求偏导，应用链式法则：
$F_u \left(1 + \frac{1}{y} \frac{\partial z}{\partial x}\right) + F_v \left(\frac{1}{x} \frac{\partial z}{\partial x} - \frac{z}{x^2}\right) = 0$
整理得：
$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{F_v z y - F_u x^2 y}{x (F_u x + F_v y)}$

对$y$求偏导

同理，对等式$F(u, v) = 0$关于$y$求偏导：
$F_u \left(\frac{1}{y} \frac{\partial z}{\partial y} - \frac{z}{y^2}\right) + F_v \left(1 + \frac{1}{x} \frac{\partial z}{\partial y}\right) = 0$
整理得：
$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{F_u z x - F_v y^2 x}{y (F_u x + F_v y)}$

代入目标表达式

将$\frac{\partial z}{\partial x}$和$\frac{\partial z}{\partial y}$代入$z - x\frac{\partial z}{\partial x} - y\frac{\partial z}{\partial y}$：
$\begin{aligned}z - x\frac{\partial z}{\partial x} - y\frac{\partial z}{\partial y} &= z - \frac{z (y F_v + x F_u) - xy (F_u x + F_v y)}{F_u x + F_v y} \\&= z - z + xy = xy\end{aligned}$