如图所示，一块尖缘导流板垂直插入一股厚为h的平面水流柱中，将一部分水流引到板上，另一部分水流折射角为α的自由射流。α与阻挡部分占水柱厚度h的比例k(0≤k≤0.5)有关，忽略重力和黏性力影响，试求(1)α与k的关系；(2)射流对单位宽度导流板的作用力F。 少

考查要点：本题主要考查流体力学中的伯努利方程和动量守恒定律的应用，涉及流动分离、动量变化及作用力计算。

解题核心思路：

1. 伯努利方程：由于忽略黏性力和重力，水流各部分的总机械能守恒，可得导流板两侧流速相等。
2. 动量守恒：分别在垂直（y方向）和平行（x方向）于导流板的方向上建立动量方程，结合流量分配比例$k$，联立求解折射角$\alpha$和作用力$F$。

破题关键点：

• 流量分配：导流板阻挡比例$k$对应流量分配，未阻挡部分流量为$(1-k)h$。
• 动量变化：射流方向改变导致动量变化，需计算动量在x、y方向的分量。

第（1）题：求$\alpha$与$k$的关系

应用伯努利方程

忽略重力和黏性力，水流各部分总机械能守恒：
$\frac{p}{\rho} + \frac{v_1^2}{2} = \frac{p}{\rho} + \frac{v_2^2}{2} = \frac{p}{\rho} + \frac{v^2}{2}$
得$v_1 = v_2 = v$，即导流板两侧流速相等。

建立y方向动量方程

未阻挡部分水流折射后产生垂直方向的动量变化。单位时间内动量变化为：
$0 = \rho g (1-k) h v^2 \sin \alpha - \rho g h^2$
解得：
$\sin \alpha = \frac{k}{1-k}$

第（2）题：求射流对导流板的作用力$F$

应用牛顿第三定律

导流板受力$-F$等于射流动量变化的冲量。x方向动量方程：
$-F = \rho g (1-k) h v^2 \cos \alpha - \rho g h v^2$

联立求解$\cos \alpha$

由$\sin \alpha = \frac{k}{1-k}$和$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$，得：
$\cos \alpha = \frac{\sqrt{1-2k}}{1-k}$

代入作用力表达式

化简得：
$F = \rho g h^2 \left(1 - \sqrt{1-2k}\right)$