题目
设已给定置信度为1-alpha，总体X sim N(mu, sigma^2)，X_1, X_2, ..., X_n为一个样本，overline(X), S^2分别是样本均值和样本方差，sigma^2未知，则mu的置信水平为1-alpha的置信区间为（） A. (overline(X) pm (sigma)/(sqrt(n)) u_((alpha)/(2)))B. (overline(X) pm (s)/(sqrt(n)) u_(1-alpha))C. (overline(X) pm (s)/(sqrt(n)) t_((alpha)/(2)))D. (overline(X) pm (s)/(sqrt(n)) u_(1-(alpha)/(2)))
设已给定置信度为$1-\alpha$，总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$X_1, X_2, \cdots, X_n$为一个样本，$\overline{X}, S^2$分别是样本均值和样本方差，$\sigma^2$未知，则$\mu$的置信水平为$1-\alpha$的置信区间为（）
- A. $(\overline{X} \pm \frac{\sigma}{\sqrt{n}} u_{\frac{\alpha}{2}})$
- B. $(\overline{X} \pm \frac{s}{\sqrt{n}} u_{1-\alpha})$
- C. $(\overline{X} \pm \frac{s}{\sqrt{n}} t_{\frac{\alpha}{2}})$
- D. $(\overline{X} \pm \frac{s}{\sqrt{n}} u_{1-\frac{\alpha}{2}})$
题目解答
答案
为了确定总体均值$\mu$的置信水平为$1-\alpha$的置信区间，其中总体方差$\sigma^2$未知，我们使用t分布。t分布适用于小样本量或当总体方差未知时。
以下是找到置信区间的步骤：
1. **确定枢轴量**：当$\sigma^2$未知时，枢轴量由下式给出：
\[
T = \frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}
\]
其中$\overline{X}$是样本均值，$S$是样本标准差，$n$是样本量。这个枢轴量遵循自由度为$n-1$的t分布。
2. **找到临界值**：对于置信水平为$1-\alpha$，我们需要找到t分布的临界值$t_{\alpha/2, n-1}$，使得：
\[
P\left(-t_{\alpha/2, n-1} < T < t_{\alpha/2, n-1}\right) = 1 - \alpha
\]
这意味着：
\[
P\left(-t_{\alpha/2, n-1} < \frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} < t_{\alpha/2, n-1}\right) = 1 - \alpha
\]
3. **解出$\mu$**：重新排列不等式以解出$\mu$：
\[
-t_{\alpha/2, n-1} < \frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} < t_{\alpha/2, n-1}
\]
乘以$S / \sqrt{n}$：
\[
-t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}} < \overline{X} - \mu < t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}
\]
从所有部分减去$\overline{X}$：
\[
-\overline{X} - t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}} < -\mu < -\overline{X} + t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}
\]
乘以$-1$（并反转不等号）：
\[
\overline{X} - t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}} < \mu < \overline{X} + t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}
\]
4. **写出置信区间**：$\mu$的置信水平为$1-\alpha$的置信区间为：
\[
\left(\overline{X} \pm \frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha/2, n-1}\right)
\]
在给定的选项中，正确答案是：
\[
\boxed{C}
\]