在 triangle ABC 中，cos A = -(1)/(3)，a sin C = 4sqrt(2)。（1）求 c 的值；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 triangle ABC 存在，求 BC 边上的高。条件①：a = 6；条件②：a sin B = (10sqrt(2))/(3)；条件③：triangle ABC 的面积为 10sqrt(2).

我们来逐步解决这道题。 --- ## **题目分析：** 在三角形 $ \triangle ABC $ 中，已知： - $ \cos A = -\frac{1}{3} $ - $ a \sin C = 4\sqrt{2} $ 其中 $ a = BC $，即边 $ BC $ 的长度。 --- ## **第（1）问：求 $ c $ 的值** 我们使用**正弦定理**和**余弦定理**来解决。 --- ### **第一步：利用余弦定理求 $ \sin A $** 已知： $$ \cos A = -\frac{1}{3} $$ 利用三角恒等式： $$ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \Rightarrow \sin^2 A = 1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \Rightarrow \sin A = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $$ 因为角 $ A $ 是三角形的一个角，且 $ \cos A < 0 $，所以 $ A $ 是钝角，$ \sin A > 0 $，所以取正值。 --- ### **第二步：使用正弦定理** 正弦定理： $$ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \Rightarrow c = \frac{a \sin C}{\sin A} $$ 已知： - $ a \sin C = 4\sqrt{2} $ - $ \sin A = \frac{2\sqrt{2}}{3} $ 代入： $$ c = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{4\sqrt{2} \cdot 3}{2\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = 6 $$ --- ### **第（1）问答案：** $$ \boxed{c = 6} $$ --- ## **第（2）问：求 $ BC $ 边上的高** 我们选择一个条件，使得三角形存在，然后求出 $ BC $ 边上的高。 我们选择**条件②：$ a \sin B = \frac{10\sqrt{2}}{3} $**，因为这个条件和我们已经知道的 $ a \sin C = 4\sqrt{2} $ 相似，容易处理。 --- ### **第一步：利用三角形面积公式** 三角形面积可以用边和正弦表示： $$ S = \frac{1}{2} ab \sin C = \frac{1}{2} ac \sin B = \frac{1}{2} bc \sin A $$ 我们选择： $$ S = \frac{1}{2} ac \sin B $$ 已知： - $ a \sin B = \frac{10\sqrt{2}}{3} $ - $ c = 6 $（由第（1）问） 代入： $$ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin B = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot a \sin B = 3 \cdot a \sin B $$ $$ S = 3 \cdot \frac{10\sqrt{2}}{3} = 10\sqrt{2} $$ --- ### **第二步：利用面积公式求高** 面积也可以用底边和高表示： $$ S = \frac{1}{2} \cdot \text{底} \cdot \text{高} $$ 设 $ h $ 是 $ BC $ 边上的高，$ BC = a $，则： $$ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \Rightarrow 10\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \Rightarrow h = \frac{2 \cdot 10\sqrt{2}}{a} = \frac{20\sqrt{2}}{a} $$ --- ### **第三步：求出 $ a $** 我们用余弦定理求 $ a $： $$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A $$ 我们已知： - $ \cos A = -\frac{1}{3} $ - $ c = 6 $ 但不知道 $ b $，所以我们换一种方式。 我们用三角形面积公式： $$ S = \frac{1}{2} ab \sin C $$ 我们有： - $ a \sin C = 4\sqrt{2} $ - $ S = 10\sqrt{2} $ 代入： $$ 10\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C = \frac{1}{2} \cdot b \cdot a \sin C = \frac{1}{2} \cdot b \cdot 4\sqrt{2} \Rightarrow 10\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \cdot b \Rightarrow b = \frac{10\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = 5 $$ --- ### **第四步：代入求高** 我们已经知道： - $ b = 5 $ - $ c = 6 $ - $ \cos A = -\frac{1}{3} $ 使用余弦定理求 $ a $： $$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A = 25 + 36 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = 61 + 20 = 81 \Rightarrow a = \sqrt{81} = 9 $$ --- ### **第五步：求高** $$ h = \frac{20\sqrt{2}}{a} = \frac{20\sqrt{2}}{9} $$ --- ### **第（2）问答案：** $$ \boxed{h = \frac{20\sqrt{2}}{9}} $$ --- ## ✅ **最终答案总结：** - （1）$ \boxed{c = 6} $ - （2）$ \boxed{h = \frac{20\sqrt{2}}{9}} $（选择条件②）