题目
1.图 7-8 所示为一平面简谐波在 t=0 时刻的波形图,设此简谐波的频率-|||-为250Hz,且此时质点P的运动方向向下,求:-|||-(1)该波的波动方程;-|||-(2)在距原点O为100 m处质点的振动方程与振动速度表达式。-|||-y/m-|||-sqrt (2)A/2-|||-P-|||-0 x/m-|||--A 100m-|||-图 7-8
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定波的传播方向
由图可知，质点P在t=0时刻的位移为$\sqrt{2}A/2$，且运动方向向下，因此波向左传播。
步骤 2：确定原点O处质点的振动方程
在t=0时刻，原点O处质点的位移为$\sqrt{2}A/2$，即$y_0 = A\cos(\varphi)$，其中$\varphi$为初相位。由于质点P的运动方向向下，因此原点O处质点的初速度$v_0 = -A\omega\sin(\varphi)$，且$v_0 < 0$。由此可得$\varphi = \pi/4$。因此，原点O处质点的振动方程为$y_0 = A\cos(500\pi t + \pi/4)$。
步骤 3：确定波动方程
波动方程的一般形式为$y = A\cos(2\pi ft + \varphi - kx)$，其中$f$为频率，$\varphi$为初相位，$k$为波数。由于波向左传播，因此波动方程为$y = A\cos(2\pi ft + \varphi + kx)$。将$f = 250Hz$，$\varphi = \pi/4$，$k = 2\pi/\lambda$代入，其中$\lambda$为波长，可得波动方程为$y = A\cos(2\pi (250t + x/200) + \pi/4)$。
步骤 4：确定距原点O为100m处质点的振动方程与振动速度表达式
将$x = 100m$代入波动方程，可得距原点O为100m处质点的振动方程为$y_1 = A\cos(500\pi t + 5\pi/4)$。振动速度表达式为$v = -500\pi A\sin(500\pi t + 5\pi/4)$。
由图可知，质点P在t=0时刻的位移为$\sqrt{2}A/2$，且运动方向向下，因此波向左传播。
步骤 2：确定原点O处质点的振动方程
在t=0时刻，原点O处质点的位移为$\sqrt{2}A/2$，即$y_0 = A\cos(\varphi)$，其中$\varphi$为初相位。由于质点P的运动方向向下，因此原点O处质点的初速度$v_0 = -A\omega\sin(\varphi)$，且$v_0 < 0$。由此可得$\varphi = \pi/4$。因此，原点O处质点的振动方程为$y_0 = A\cos(500\pi t + \pi/4)$。
步骤 3：确定波动方程
波动方程的一般形式为$y = A\cos(2\pi ft + \varphi - kx)$，其中$f$为频率，$\varphi$为初相位，$k$为波数。由于波向左传播，因此波动方程为$y = A\cos(2\pi ft + \varphi + kx)$。将$f = 250Hz$，$\varphi = \pi/4$，$k = 2\pi/\lambda$代入，其中$\lambda$为波长，可得波动方程为$y = A\cos(2\pi (250t + x/200) + \pi/4)$。
步骤 4：确定距原点O为100m处质点的振动方程与振动速度表达式
将$x = 100m$代入波动方程，可得距原点O为100m处质点的振动方程为$y_1 = A\cos(500\pi t + 5\pi/4)$。振动速度表达式为$v = -500\pi A\sin(500\pi t + 5\pi/4)$。